Ensino Médio ⇒ Equação polinomial Tópico resolvido

[jomatlove]

Alguém pode me ajudar?

Resolver a equação

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[tex3](x-1)^{4}+(x-5)^{4}=82[/tex3]

Grato!!!

[Ittalo25]

Olá,

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[tex3](x-1)^4+(x-1-4)^4 = 82[/tex3]

Fazendo:

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[tex3](x-1) = y[/tex3]

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[tex3](y)^4+(y-4)^4 = 82[/tex3]

Supondo y como inteiro, fica fácil enxergar as raízes (Pois:

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[tex3]2^4<<82<<4^4[/tex3]

)

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[tex3]\begin{cases}
y=3\rightarrow x=4 \\
y=1 \rightarrow x=2
\end{cases}[/tex3]

O wolframalpha deu umas soluções complexas, mas não sei como encontrá-las.

[caju]

Olá Ittalo25,

Para achar as soluções complexas, você pode desenvolver o polinômio encontrado

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[tex3](y)^4+(y-4)^4 = 82[/tex3]

e, como já descobriu duas raízes dele (

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[tex3]y=3[/tex3]

e

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[tex3]y=1[/tex3]

) você pode aplicar o dispositivo prático de Briot-Rufini para reduzir duas vezes o grau deste polinômio.

Assim, você terá um polinômio de segundo grau que será solucionado por báscara, e terá as outras duas soluções não reais indicadas pelo wolphramalpha.

Você poderia postar o desenvolvimento desta solução para nós?

Grande abraço,
Prof. Caju

[Ittalo25]

Tudo bem, vou terminar.

[tex3](y)^4+(y-4)^4 = 82[/tex3]

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[tex3](y)^4+(y-4)^4 = 82[/tex3]

[tex3]y^4-8y^3+48y^2-128y+87 = 0[/tex3]

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[tex3]y^4-8y^3+48y^2-128y+87 = 0[/tex3]

Usando o dispositivo de Briot Ruffini:

Raiz 3:

[tex3]\begin{array}{lccccccr} & $|$ & 1 & -8 & 48 & -128 & $|$ & 87\\\hline 3 & $|$ & 1 & -5 & 33 & -29 & $|$ & 0\\ \end{array}[/tex3]

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[tex3]\begin{array}{lccccccr} & $|$ & 1 & -8 & 48 & -128 & $|$ & 87\\\hline 3 & $|$ & 1 & -5 & 33 & -29 & $|$ & 0\\ \end{array}[/tex3]

[tex3]y^3-5y^2+33y-29 = 0[/tex3]

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[tex3]y^3-5y^2+33y-29 = 0[/tex3]

Raiz 1:

[tex3]\begin{array}{lcccccr} & $|$ & 1 & -5 & 33 & $|$ & -29\\\hline 1 & $|$ & 1 & -4 & 29 & $|$ & 0\\ \end{array}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{array}{lcccccr} & $|$ & 1 & -5 & 33 & $|$ & -29\\\hline 1 & $|$ & 1 & -4 & 29 & $|$ & 0\\ \end{array}[/tex3]

[tex3]y^2-4y+29 = 0[/tex3]

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[tex3]y^2-4y+29 = 0[/tex3]

Fazendo bhaskara:

[tex3]y = \frac{4\pm \sqrt{(-4)^2-4.1.29}}{2}[/tex3]

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[tex3]y = \frac{4\pm \sqrt{(-4)^2-4.1.29}}{2}[/tex3]

[tex3]y = 2\pm 5i[/tex3]

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[tex3]y = 2\pm 5i[/tex3]

Finalmente as raízes são:

[tex3]\begin{cases}
y=3\rightarrow (x=4) \\
y=1\rightarrow (x=2) \\
y=2+5i\rightarrow (x = 3+5i) \\
y=2-5i\rightarrow (x = 3-5i)
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
y=3\rightarrow (x=4) \\
y=1\rightarrow (x=2) \\
y=2+5i\rightarrow (x = 3+5i) \\
y=2-5i\rightarrow (x = 3-5i)
\end{cases}[/tex3]

Abraços.