Aqui ficará uma coletânea de questões antigas, com mais de 1 ano, que não foram respondidas ainda. Não é possível postar novas questões nesse fórum, apenas é possível resolver as que forem movidas para cá pelos moderadores.
Atendendo a vários pedidos, o fórum TutorBr lança a primeira maratona de exercícios de olimpíadas sobre teoria dos números. .
Usualmente as olímpiadas são dividias em questões de teoria dos números,...
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Solução do Problema 80
792 = 2³ . 3² . 11
para ser divisível por 11: 11 | z-5+4-y+x-3+1
para ser divisível por 9: 9 | 1+3+x+y+4+5+z
para ser divisível por 8: 8 | 45z
De III: z = 6, pois o único...
Criei uma playlist no canal para postar as resoluções de todas questões do ENEM 2017 de Matemática .
Já fiz todas resoluções e programei para o Youtube postar 2 vídeos por dia nos...
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Prof. Caju essa é a minha primeira aparição nesse Forum (seria o meu post de batismo), pra mim é uma honra poder participar de um espaço tão valoroso como esse, em breve espero poder contribuir da...
Problema Proposto
28 - O ângulo B de um triângulo ABC mede 120 o .
Sobre AB, BC e AC se marcam os pontos M; N e L
respectivamente. As circunferências circunscritas
aos triángulos AML e LNC se...
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OS ângulos subtendidos pelo segmento ML nos pontos A P são iguais.
Os ângulos subtendidos peo segmento NL nos pontos C e P são iguais.
Problema Proposto
33 - No triângulo ABC : AB = 7, BC= 9 e
\angle B = 74 o . A bissetriz do ângulo B intercepta
a mediatriz de AC em P. Calcular PD; se AC \cap BP = D.
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\mathsf{
\angle AFP = 74^o \rightarrow \triangle AFP (isósceles) \\
EF \perp AP\ \implies \triangle EFP: notável(37^o, 53^o) \implies
AP = \frac{6R}{5}\\ \angle MCP=37^o\\
PM \perp CD \implies...
Problema Proposto
25 - No triángulo ABC: \angle A = 2\angle C , IG|| AC,
sendo I o incentro e G o baricentro. Se IG =a, calcular
a distância ID se BD é bissetriz interior.
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Sendo IG = x
\mathsf{ IG∥AC⟹(propriedade): \boxed{2b=a+c}(I)\\
Problema Proposto
29 - Sobre o arco AB da circunferência circunscrita
a um quadrado ABCD se marca o ponto P de modo que:
AP = 1 e PB = 2 \sqrt{2} .
Calcular PC.
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\mathsf{
AB =BC = y\implies AC = y\sqrt2\\AP.BC+AC.BP=AB.CP\\
1.y+y\sqrt2.2\sqrt2=y.CP\implies y +4y = yCP\\
\therefore \boxed{\color{red}CP = 5}
Problema Proposto
18 - No triângulo escaleno ABC, se traça a bissetriz exterior BF do ângulo B
cujo prolongamento intercepta em M a circunferência circunscrita ao triângulo.
Se AB=10 e...
Problema Proposto
17 - Dada uma semicircunferência de diámetro
AB e um ponto «F» exterior de AB; por «F» e
«B» se traçam as tangentes que se interceptam
en «P» tal que : PF = \sqrt{15} e AB = 6....
Problema Proposto
13 - De um ponto da circunferencia se traçam
duas cordas e um diâmetro de modo que a soma das
projeções das cordas sobre o diâmetro, é igual a medida
do diâmetro.A soma das medidas...
Problema Proposto
15 - Sobre o arco AB da circunferência circunscrita
a um triângulo equilátero ABC de altura h se toma
um ponto P.
Calcular: PA 2 + PB 2 + PC 2
Problema Proposto
14 - Calcular a medida da bissetriz exterior
do ângulo «A» de um triângulo ABC.
Se: b-c = 20 e b.c(p - b)(p - c)= 100
{p ➔ semiperímetro)
(*Enunciado corrigido: seria 100 e não 10c)
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\mathsf{AP = \frac{2\sqrt{bc(p-b)(p-c)}}{|b-c|}\\
AP =\frac{ 2\sqrt{100}}{20}\\
AP^2 = \frac{20}{20}
\therefore \boxed{\color{red}AP = 1}}
(Solução:Aplicando a fórmula fornecida pelo Zhadnyy))
Problema Proposto
16 - Na figura; BO = OC e AB = 6 \sqrt{2} .
Hallar AF . FL.
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Seja o encontro de AB com o círculo menor
da homotetia dos círculos: AB = 2BX \iff BX = 3\sqrt2
a potência de em relação ao círculo menor \boxed{\color{red}AX \cdot AB = 3\sqrt2 \cdot 6\sqrt2 = 36...
Problema Proposto
11 - Duas circunferências secantes se interceptam nos pontos A e B;
prolongando a corda BA intercepta a tangente comum CD no ponto «P»
de modo que CD = PB e PA = 1m Calcular AB.
Problema Proposto
7 - Uma reta tangente em B à circunferência
circunscrita ao triângulo ABC, é paraleia
a bissetriz interior CD( D em AB).
Calcular AC, se AD = 5 e BD=4.
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BC subentende 2∠A no centro O da circunferência.
∠OBC = 90∘ - ∠A e portanto a tangente faz o ângulo ∠A com o segmento BC,
mas como a tangente também é paralela a bissetriz, concluímos ∠A=∠C/2....
Problema Proposto
4 - No triángulo ABC ( \angle B =90 o ) de hipotenusa
«b» cujo inraio é r. Se : b 2 - 4br = 4
Calcular a distância do incentro ao circuncentro
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r= inraio
R = circunraio
Distância do Incentro ao Circuncentro :
\mathsf{{d_{IO}}=\sqrt{R^2-2Rr}\\
b^2-4rb = 4\ \implies r = \frac{b}{4} -\frac{1}{b}\\
d_{IO} =\sqrt{R^2-2Rr} \\
R = \frac{b}{2}...
Problema Proposto
3 - No triângulo inscrito em uma circunferência
de raio 10 cm, o produto da medida de dois lados é
igual a 256.
Calcular a altura relativa ao terceiro lado.
