Atendendo a vários pedidos, o fórum TutorBr lança a primeira maratona de exercícios de olimpíadas sobre teoria dos números. .
Usualmente as olímpiadas são dividias em questões de teoria dos números,...
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Solução Problema 75
Temos que encontrar n = 2 \cdot p \cdot q, p, q primos ímpares distintos. Devemos ter 2^{2pq-1} −1 + 1 ≡ 0 (mod p) ⇐⇒ 2^{2q-1} ≡ −1 (mod p). Veja que (2^{\frac{p-1}{2}})^{2} ≡ 1...
Criei uma playlist no canal para postar as resoluções de todas questões do ENEM 2017 de Matemática .
Já fiz todas resoluções e programei para o Youtube postar 2 vídeos por dia nos...
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Prof. Caju essa é a minha primeira aparição nesse Forum (seria o meu post de batismo), pra mim é uma honra poder participar de um espaço tão valoroso como esse, em breve espero poder contribuir da...
A sequência (x_n)_n é definida por x_1=4 e x_2=19 , e para n\geq 2 , x_{n+1}= \lceil \frac{x_n^2}{x_{n-1}}\rceil . Prove que x_n-1 é sempre múltiplo de 3.
Uma permutação dos inteiros positivos 1, 2, 3, ..., n satisfaz a seguinte condição: cada número é maior que ou menor que todos os números em sua frente. Quantas tais permutações existem?
(Hungria–Israel/1997) Quantas sequências distintas de tamanho 1997 podem ser formadas usando cada uma das letras A, B, C um número ímpar de vezes (e nenhuma outra)?
Em um triângulo ABC, \overline{AB}=\overline{AC} . Pontos D e E estão na semirreta \vec{BC} (com D entre B e C e C entre D e E) tal que \overline{BD}=\overline{DC} e \overline{BE}>\overline{CE} ....
Os pontos E e F são dados no lado BC de um quadrilátero ABCD (com E mais perto de B do que F). Sabe-se que ∠BAE =∠CDF e ∠EAF = ∠FDE. Prove que ∠FAC = ∠EDB.
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não coloca o enunciado no titulo fazendo favor, fica ruim assim.
perceba que o enunciado é equivalente a provar que ABCD é cíclico já que temos aqueles outros ângulos iguais.
AEFD é cíclico pois o...
Os dois círculos de raio 1 são tangente aos lados do triângulo equilátero e ao arco de circunferência destacado em vermelho. Determinar a medida do lado do triângulo equilátero....
Seja f : \mathbb{N} → \mathbb{N} uma função tal que f(n + 1) > f(n) e f(f(n)) = 3n , para todo n natural.
Determine f(2001) .
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........................................up.......................................
\boxed{3f(n) = f(3n)}
isso vem do fato f(f(n)) = 3n \implies f(f(f(n))=3f(n)=f(3n)
usando isso podemos descobrir o...
Suponha x0, x1, x2... é uma sequência de números que satisfaz x0 = 1000 e x_n=\frac{-1000}{n}(x_0+x_1+x_2+...+x_{n-1}) para todo n maior ou igual a 1. Então, o valor da expressão...
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Tentei achar um padrão nos x_n, mas achei que ficou com números muito grandes. Se eu conseguisse algo legal, achei que a expressão parece uma P.A.G. Mas não deu certo.
Os números complexos a, b e c são os zeros de um polinômio P(z)=z^3+qz+r tal que |a|^2+|b|^2+|c|^2=250 . Sabendo que os pontos correspondentes a, b e c no plano complexo são os vértices de um...
Sabendo que r e s são raízes reais de P(x)=x^3+ax+b e r+4 e s-3 são raízes reais de q(x)=x^3+ax+b+240 , calcule a soma de todos os valores possíveis de |b|
Se possível, usando DIFERENÇAS FINITAS,...
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As raízes de P(x) são r,s e -r-s já que a soma delas é zero, então:
P(x) = (x-r)(x-s)(x+r+s)
As raízes de Q(x) são r+4,s-3 e -r-s-1, analogamente:
Q(x) = (x-r-4)(x-s+3)(x+r+s+1)
Sabendo que alfa e beta são os valores reais positivos de x e y que satisfazem a equação log\left(x^3+\frac{y^3}{3}+\frac{1}{9}\right)=log(x)+log(y) , então o valor da expressão 9\alpha ^2\beta...
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log\left(x^3+\frac{y^3}{3}+\frac{1}{9}\right)=log(x)+log(y) \rightarrow 9x^3+3y^3+1 = 9xy
Como são reais positivos, pela desigualdade das médias:
\frac{9x^3+3y^3+1}{3}\geq \sqrt {9x^3 \cdot 3y^3...
Seja P(x) um polinômio quadrático de coeficientes reais tais que P(11)=181 e x^2-2x+2\leq P(x)\leq 2x^2-4x+3 para qualquer número real x. O valor de P(21) é:
a) 721
b) 691
c) 671
d) 621
e) 581
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x^2-2x+2\leq P(x)\leq 2x^2-4x+3
(x-1)^2+1 \leq P(x)\leq 2(x-1)^2+1
Isso mostra que P(1) = a\cdot 1^2+b\cdot 1+c = 1
Também mostra que (1,1) é o vértice da parábola (ponto mínimo): -\frac{b}{2a} =...
Prove que não existem inteiros a, b, c e d tais que o polinômio P(x)=ax^3+bx^2+cx+d , com a não nulo, satisfaz P(4)=1 e P(7)=2.
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Muito bom null
Está num capítulo sobre Regra da Exclusão de Newton, Teorema de Bolzano e Regra dos Sinais de Descartes... aí eu estava pensando apenas nisso.
Definimos um polinômio mônico irredutível com coeficientes inteiros como todo aquele polinômio de coeficientes inteiros que não pode ser mais fatorado, e fatoração prima de um polinômio com os...
ABC é um triângulo equilátero e P é um ponto no seu interior de modo que as distâncias de P aos lados do triângulo são 6, 8 e 10. Determine a área de ABC.
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Pelo Teorema de Viviani a altura h desse triângulo é: h=6+8+10=24
Então sua área vale: \boxed{\frac{24^2\cdot \sqrt{3}}{4}}
Existe um polinômio P de grau 5 com a seguinte propriedade: se z é um número complexo, tal que z^5+2004z=1 , então P(z^2)=0 . Sabendo que o quociente de P(1)/P(-1) é uma fração irredutível da forma...
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Se a,b,c,d são raízes de z^5+2004z=1 , então a^2,b^2,c^2,d^2 são raízes de P(x), então:
Sabendo que a_k+ib_k para k=1,2,3,4 são as raízes do polinômio p(x)=x^4-6x^3+26x^2-46x+64 com a_k,b_k inteiros e i é a unidade imaginária dos complexos. Então, o valor da expressão...
Se (x^2-9x-1)^{10}+99x^{10}=10x^9(x^2-1) o número de raízes reais da equação é
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
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(x^2-9x-1)^{10}+99x^{10}=10x^9(x^2-1)
(x^2-9x-1)^{10}+9x^{10}=10x^9(x^2-9x-1)
Dividindo tudo por x^{10} :
(x-9-\frac{1}{x})^{10}+9=10(x-9-\frac{1}{x})
y^{10}=10y-9
Do lado esquerdo uma...
Seja alfa um número real tal que \alpha ^3-\alpha -1=0 . Então, o valor numérico de \sqrt {3\alpha ^2-4\alpha }+\alpha \sqrt {2\alpha ^2+3\alpha +2} é igual a
Se (x1, y1) , (x2, y2) e (x3, y3) são soluções reais e distintas do sistema de equações \begin{cases}
x^3-5xy^2=21 \\
y^3-5x^2y=28
\end{cases}
Então a soma dos algarismos do resultado da expressão...
Suponha que a, b,c > 0 são inteiros que satisfazem a igualdade abc - ab - ac - bc + a + b + c + 1 = 2014 . Determine o número de possibilidades para o termo (a, b, c)
Calcule o produto das raízes inteiras da equação irracional
\sqrt {13x+37}-\sqrt {13x-37}=\sqrt {2}
OBS: Gostaria de uma solução por GIRARD/SOMA DE NEWTON
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Seja a=\sqrt {13x+37} e b=\sqrt {13x-37} assim:
\begin{cases}a-b=\sqrt {2}\\ a^3-b^3=74\end{cases}
Elevando a primeira igualdade ao cubo, ficamos com: (a-b)^3=2⇒a^3-b^3+3(ab^2-ba^2)=2...
