Prove que existem infinitos números inteiros positivos n tais que \frac{5^{n-2}-1}{n} é um inteiro.

Quantas soluções inteiras e não negativas a+b+c = 15 existem?

Determine todas as funções f : Z \rightarrow Z tais que, para todos os inteiros a, b, c que satisfazem a + b + c = 0, a seguinte igualdade é verdadeira:

f(a)^{2} + f(b)^{2} + f(c)^{2} = 2f(a)f(b) +...

Determine todas as funções, nos reais positivos, pros reais positivos, tais que:
f(1) = 1/2 , e f(xy)=f(x)f(3/y)+f(y)f(3/x) .

Seja \Delta ABC um triângulo, seja H seu ortocentro. Sejam D, E, F os pontos médios dos lados CB, AC , AB, respectivamente. Defina H_1’ , como sendo o ponto na reta HD , tal que HD=H_1’D , e H_1’...

Encontre todas as funções f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} tais que f(\frac{x+y}{2}) = \frac{f(x)+f(y)}{2} , para todos x, y \in \mathbb{Q} .

É dado que AB=CD e \angle CAB=84 e \angle ABD=42 . Determine o valor de \angle ACB

triangulo.png

Mostre que o segmento que une o ortocentro e o baricentro de um triângulo acutângulo ABC é paralelo ao lado AB se, e somente se, tg \angle A\,\cdot\,tg \angle B = 3 .

eua1.JPG

No triângulo ABC, AB=AC . Os pontos D e E interno e externo ao segmento BC , tal que BD=DC e BE>CE . Suponha que \tan \angle EAC , \tan \angle EAD , e \tan \angle EAB formam uma progressão...

Em uma competição, existem a competidores e b juízes, onde b \geq 3 e é um inteiro ímpar. Cada juíz aprova ou reprova o competidor. Suponha que k é o número tal que, para quaisquer dois juízes, sua...

Seja P(x) um polinômio de coeficientes inteiros. Sabe-se que P(x) = 2011 tem pelo menos duas raízes inteiras distintas iguais a 1 e t , e que P(x) = 0 tem pelo menos uma raiz inteira. Determine todos...

Se x \,\in\,\ . Calcule o valor mínimo da expressão:

tg\(x + \frac{2\pi}{3}\) - tg\(x + \frac{\pi}{6}\) + cos\,\(x + \frac{\pi}{6}\)

Seja \alpha,\,\beta,\,\gamma os ângulos de um triângulo e seus respectivos lados opostos: a,\,b,\,c . Prove a desigualdade:

a\cdot\(\frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}\) + b\cdot \(\frac{1}{\gamma}...

O valor de H=\sum_{k=1}^n\left é igual a:

A)\,\,\frac{15-2n}{5}
B)\,\,\frac{n}{32}
C)\,\,\frac{n}{16}
D)\,\,\frac{6n-5}{16}
E)\,\,\frac{5n-5}{16}

Determine todas as funções f : \mathbb{R}\to \mathbb{R} satisfazendo 2f( x ) + f( 1 - x ) =x^{2008} para todo x \in\mathbb{R}.

Determine todas as funções f:\,\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} tais que:

f(xf(y)+f(x))=2f(x)+xy
para todos x,\, y reais.

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( OIM - 2003) No quadrado ABCD, sejam P e Q pontos pertencentes aos lados BC e CD respectivamente, distintos dos extremos, tais que BP = CQ. Consideram-se pontos X e Y,\,X\,\neq\,Y, pertencentes aos...

Calcule a área do triângulo ABC cujas bissetrizes internas medem \text{3 cm, 5 cm e 8 cm.}

Prove que para todo θ \in\mathbb R , \sen(\cosθ)<\cos(\senθ).

Prove que para todo inteiro positivo n, existem n inteiros positivos consecutivos, nenhum dos quais é potência de primo.

Mostre que para todos x,y,z\in\mathbb R , tem-se \sen(x^3)+\sen(y^3)+\sen(z^3)-\sen(xyz)<4 .

Se f:\mathbb R\to\mathbb R é a função dada por f(θ)=\cosθ+\cos(\sqrt2θ), prove que f não é periódica.

:?: O plano é pintado usando três cores. Prove que podemos encontrar um triângulo retângulo isósceles com os três vértices da mesma cor.