Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Aviso Global
ENEM 2017 Matemática Resolvida
Respostas: 7
por
caju » Qua 16 Mai, 2018 21:35
» em
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Primeira Mensagem
Olá a todos :)
Criei uma playlist no canal para postar as resoluções de todas questões do ENEM 2017 de Matemática .
Já fiz todas resoluções e programei para o Youtube postar 2 vídeos por dia nos...
Última Mensagem
Prof. Caju essa é a minha primeira aparição nesse Forum (seria o meu post de batismo), pra mim é uma honra poder participar de um espaço tão valoroso como esse, em breve espero poder contribuir da...
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Última msg por Jigsaw
Sáb 17 Nov, 2018 22:42
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(MO -1990) olimpíada japonesa
Respostas: 2
por
sousóeu » Qui 15 Jan, 2015 10:18
Primeira Mensagem
Seja X um conjunto não vazio tal que se o inteiro positivo x\in X então 4x \in X e \lfloor\sqrt{x}\rfloor\in X . Prove que X = \mathbb{N} .
Eu provei que 1\in X e que 2^n \in X pra todo n natural.
Última Mensagem
Deixe \ell ser o menor elemento de X , como \lfloor \sqrt \ell \rfloor \in X devemos ter
\lfloor \sqrt \ell \rfloor \geq \ell de onde \ell =1 .
Obviamente 2^n \in X, \forall n \in \mathbb N ....
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Última msg por sousóeu
Ter 15 Jan, 2019 10:19
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(Opm 1999) Quantidade de Algarismos
Respostas: 1
por
dylanchan0910 » Sáb 12 Jan, 2019 23:34
Primeira Mensagem
No número 5 da revista EUREKA, à página 6, veio a seguinte nota:
O maior número primo conhecido é 2^{6972593}-1 , que tem 2.098.960 dígitos e foi descoberto em 01/06/1999 por Nayan Hafratwala, um...
Última Mensagem
se N tem k algarismos então
10^{k-1} \leq N \leq 10^{k}-1
tirando o \log_{10} dos lados:
k -1\leq \log N < k
b-) Tome N = 2^{x} , x \in \mathbb N
k-1 \leq x \log_{10}2 < k \iff \frac{k-1}x...
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Dom 13 Jan, 2019 03:08
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Divisibilidade - Dúvida em questão do POTI
Respostas: 10
por
Ardovino » Sáb 12 Jan, 2019 14:56
Primeira Mensagem
Boa Tarde pessoal, tudo bem ?
Então, eu tava vendo uma videoaula do POTI sobre divisibilidade, essa aqui:
Ele apresenta o Lema:
Se d | a e d | b ----> d | ax + by
Beleza. Mas acontece que ele...
Última Mensagem
pode crer, nao tinha me ligado kkk, o n+10 sempre divide n3+1000
hehe que bobo eu
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Última msg por Ardovino
Sáb 12 Jan, 2019 16:07
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Seleçao ConeSul Brasil - Álgebra/Teoria dos Números
Respostas: 22
por
GabrielOBM » Ter 08 Jan, 2019 19:02
Primeira Mensagem
a) Prove que se m,n são inteiros positivos, e p um racional positivo, se \sqrt {m}-\sqrt {n}= p , então m e n são quadrados perfeitos.
b)Ache todas as quádruplas tais que:
\sqrt {\overline{ABCD}} -...
Última Mensagem
Ah, e m foi igual a 4, pois considerei k=2, z=1.y=raiz de 2
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Última msg por GabrielOBM
Qua 09 Jan, 2019 22:32
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Seleção ConeSul Brasil - Geometria
Respostas: 6
por
GabrielOBM » Ter 08 Jan, 2019 19:17
Tópico criado há 7 dias
Primeira Mensagem
Um triângulo equilátero RST está inscrito em uma circunferência A, e possuí incírculo W. Os pontos P e Q são escolhidos sobre RS, RT, respectivamente tais que PQ é tangente a W.
A circunferência B...
Última Mensagem
Ss, vou fazer essa prove final desse mês.... quantos anos vc tem??? E parabéns pela dedicação, e passa pra dar um molhada naquele problema de algebra, que tb postei, consegui achar uma bela solução.
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Última msg por GabrielOBM
Qua 09 Jan, 2019 20:05
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Seleção ConeSul Brasil - Álgebra
Respostas: 6
por
GabrielOBM » Ter 08 Jan, 2019 19:08
Primeira Mensagem
a) Prove que para x\ge1 , temos que:
x^3-5x^2+8x-4\ge 0 .
b) Sendo a,b \ge1 . Ache o valor mínimo da expressão:
ab(a+b-10)+8(a+b) , e as duplas (a,b), onde isso ocorre.
Última Mensagem
:wink: :wink:
Dá uma olhadinha naquele problema de Álgebra/Teoria dos Números, fala como vc faz.
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Última msg por GabrielOBM
Ter 08 Jan, 2019 22:48
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incírculo mixtilinear
por
sousóeu » Ter 08 Jan, 2019 20:30
Tópico criado há 7 dias
Seja \Delta ABC com circuncentro O , incentro I , pontos médios dos arcos menores AB,AC e BC são M_C,M_B e M_A . Chama-se de A- incírculo mixtilinear o círculo tangente aos lados AB e AC e...
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Última msg por sousóeu
Ter 08 Jan, 2019 20:30
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Teoria dos números
por
GabrielOBM » Seg 07 Jan, 2019 16:01
Encontre tos os números N de três digitos em representação decimal, tais que N é divisível por 11 e além disso N/11 é igual à soma dos quadrados dos dígitos de N.
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Última msg por GabrielOBM
Seg 07 Jan, 2019 16:01
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Equação Diofantina
Respostas: 2
por
Hanon » Sáb 10 Nov, 2018 02:21
Primeira Mensagem
Resolva a equação para (x,y,z)\in\mathbb{Z} :
xy(x^2+y^2)=2z^4
Última Mensagem
Vou expor mais um resultado
Só formalizando o início:
suponha d = \mdc (x,y)
x = d \cdot x^*
analogamente se definem y^* e z^*
então
d^2x^*y^*(d^2(x^*)^2 + d^2(y^{*})^2) = 2d^4 (z^*)^4...
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Última msg por sousóeu
Sáb 05 Jan, 2019 17:21
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Geometria - Problema 13
Respostas: 2
por
jvmago » Dom 30 Dez, 2018 23:07
Primeira Mensagem
Um triangulo ABC, retangulo em B, tem altura BH=b e hipotenusa AB=a . Se b>a determine a área desse triangulo
Última Mensagem
Man eu vi essa porcaria nos tomos da sangaku, você fazia mo conta maluca para chegar nesse triangulo e ver esse absurdo :lol: :lol:
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Última msg por jvmago
Qui 03 Jan, 2019 12:08
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(EUA) Equação
Respostas: 8
por
Babi123 » Qui 02 Ago, 2018 20:00
considere a equação 3x^2-4x+k=0 com raízes reais. Determine o valor de k para o qual o produto das raízes seja máximo.
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Última msg por MatheusBorges
Sáb 29 Dez, 2018 09:09
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Geometria - Problema 12
Respostas: 4
por
jvmago » Qui 27 Dez, 2018 20:44
Primeira Mensagem
Em um \Delta ABC , que está inscrito em um circunferencia de diâmetro AC , inscreve-se 3 circunferências congruas tangentes entre si de raio r ,onde as três tocam AC , uma toca AB e a outra BC ....
Última Mensagem
não, são somente segmentos de reta
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Última msg por jvmago
Qui 27 Dez, 2018 23:25
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Geometria - Problema 11
Respostas: 1
por
jvmago » Qui 27 Dez, 2018 20:29
Primeira Mensagem
Sabendo-se que o \Delta ABC tem lados a,b,c , determine a em função dos lados b,c e de R , que é o raio de sua circunferencia circunscrita.
Última Mensagem
Seja O o circuncentro de \Delta ABC
D o encontro de AO com o circuncírculo
aplique Ptolomeu em ABCD
c \cdot CD + b \cdot DB= 2R \cdot a \iff
a=\frac{b\sqrt{4R^2-c^2}+c\sqrt{4R^2-b^2}}{2R}
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Última msg por sousóeu
Qui 27 Dez, 2018 20:58
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Geometria- Problema 10
Respostas: 1
por
jvmago » Qua 26 Dez, 2018 12:19
Primeira Mensagem
Sabendo-se que duas circunferências de centros A e B , com raios a e b , tangentes em C , tem uma reta tangente comum nos pontos D e E , Determine o raio da circunferencia inscrita no \Delta CDE em...
Última Mensagem
vamos lá.
É claro que \angle DCE = 90 por conta do paralelismo por conta da homotetia.
DE = 2\sqrt{ab}
CD = x
CE = y
x^2 + y^2 = 4ab
Z = AB \cap \Gamma(A,a) ZD = \frac aby
ZD^2 + CD^2 =...
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Última msg por sousóeu
Qua 26 Dez, 2018 19:04
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(IMO Shortlist 1982) Polinômio
Respostas: 5
por
Babi123 » Sex 13 Jul, 2018 23:37
Primeira Mensagem
Existe o número real a , tal que as quatro raízes distintas de 16x^4-ax^3+(2a+17)x^2+16=0 formam uma progressão geométrica. Encontre a .
Última Mensagem
Opa, vdd. Tenta fazer assim:
(b_1,b_2,b_3,b_4)=(\frac{y}{q^3},\frac{y}{q},y.q,y.q^{3})
A razão agora seria q^2 mas as análises seriam as mesmas da solução anterior.
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Última msg por erihh3
Sáb 22 Dez, 2018 19:19
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Torneio das Cidades - 2001 (Congruencia)
Respostas: 3
por
GabrielOBM » Sáb 22 Dez, 2018 10:09
Primeira Mensagem
Pode a soma dos algarismos de n somado com a soma dosalgarismos de n^3 ser igual a 2001?
Última Mensagem
acho que o enunciado está errado, me parece que você quis o problema 2 dessa prova aqui:
ao meu ver ela pergunta sobre o número de dígitos não sobre a soma deles, posso estar errado.
Se a...
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Última msg por sousóeu
Sáb 22 Dez, 2018 16:03
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Geometria - Simulado IMO
Respostas: 10
por
jvmago » Dom 25 Nov, 2018 16:30
Tópico criado há 51 dias
Primeira Mensagem
Um pentágono regular ABCDE de lado 5 circunscreve uma circunferencia e esta circunscreve um pentágono regular A',B',C',D',E' . Traçam-se perpendiculares a partir de A',B',C',D',E' com direção ao...
Última Mensagem
jvmago , Segue o desenho para completar a resolução.
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Última msg por petras
Qua 19 Dez, 2018 23:33
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São Petesburgo 1996 - Quadrilátero Inscritivél
Respostas: 3
por
GabrielOBM » Dom 16 Dez, 2018 22:40
Tópico criado há 30 dias
Primeira Mensagem
Seja ABC um triângulo tal que m(BAC)=60°. Seja também O um ponto no interior de ABC para o qual m(AOB)=m(BOC)=120°. Se D, E são pontos médios dos lados AB, AC, respectivamente, prove A, D, E O são...
Última Mensagem
\angle ABO +\angle BOA + \angle OAB =180 \iff \angle ABO + \angle BAO =60 \iff \angle OBA = \angle OAC
como \angle COA = \angle AOB =120
Então são semelhantes
- 3 Respostas
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Última msg por sousóeu
Seg 17 Dez, 2018 10:09
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Geometria - Reta de Simson
Respostas: 1
por
GustavoSG » Ter 11 Dez, 2018 21:14
Tópico criado há 35 dias
Primeira Mensagem
Sejam A, B, C, P, Q pontos sobre um círculo. Mostre que o ângulo formado entre as retas de Simson de P e Q em relação ao triângulo ABC é igual a metade do arco PQ.
Última Mensagem
vou mostrar pro caso a seguir, mas verificar pras outra posições de P e Q é um trabalho muito análogo.
retassimson.png
repare que os quadriláteros BQHG e PCED são inscritíveis (cíclicos)
pois...
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Última msg por sousóeu
Qua 12 Dez, 2018 02:34
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Equação
Respostas: 11
por
Hanon » Ter 04 Dez, 2018 14:17
Tópico criado há 42 dias
Primeira Mensagem
Encontre todas as soluções reais para a equação:
2^x+3^x+6^x=x^2
Última Mensagem
po, que discussão redudnte, não percebem que a base de raciocínio é a mesma?? plotar o gráfico das funções comparadas acaba dando no mesmo do que a função da diferença, helloo? é simples perceber...
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Última msg por AlguémMeHelp
Dom 09 Dez, 2018 10:49
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Equação exponencial
Respostas: 4
por
Hanon » Seg 03 Dez, 2018 21:04
Primeira Mensagem
Encontre todos os números reais x para os quais:
10^x+11^x+12^x=13^x+14^x
Última Mensagem
Acredito que seja suficiente dividir a igualdade por 12^x . O que está do lado esquerdo é estritamente decrescente, enquanto o que está do lado direito é estritamente crescendo. Como 2 é solução, ela...
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Última msg por MateusQqMD
Ter 04 Dez, 2018 01:20
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Geometria - Problema 4
Respostas: 5
por
jvmago » Dom 02 Dez, 2018 12:31
Tópico criado há 44 dias
Primeira Mensagem
As distancias do baricentro G aos vértices de um triangulo ABC valem m_a,m_b,m_c determine AB^2+BC^2+AC^2
Última Mensagem
Tranquilo, parceiro hahaha, é nóis! Bonita sua resolução hein...
Eu fui em analítica pq resolve tudo mesmo auhauhauha, só que saíram umas contas cabulosas. Aí eu simplifiquei o caso do triângulo e...
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Última msg por AndreBRasera
Seg 03 Dez, 2018 20:22
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Geometria - Problema 3
Respostas: 1
por
jvmago » Dom 02 Dez, 2018 12:27
Primeira Mensagem
Um triangulo ABC,reto em B, está inscrito em um circunferencia. Traça-se a reta ED=1 perpendicular a hipotenusa tal que E é ponto de tangencia da circunferencia inscrita e D está na circunferencia...
Última Mensagem
Eu admito que esse problema pareça bizarro e meio inacreditável mas é real!!! Para resolver você tem que lembrar do teorema de Burlet (algum moderador pf coloque no espaço de demonstraçoes de...
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Última msg por jvmago
Seg 03 Dez, 2018 19:59
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Geometria - Problema 2
Respostas: 3
por
jvmago » Sex 30 Nov, 2018 21:55
Tópico criado há 46 dias
Primeira Mensagem
Em um quadrado ABCD inscreve-se uma circunferência de centro O cujos pontos de tangencia E,F,G,H estão nos lados AB,BC,CD,AD . Marca-se um ponto P sobre o comprimento do arco menor FG . Sabendo-se...
Última Mensagem
Trace PA e você vai percerber que PE e PH serão medianas dos \Delta BPA e \Delta APD respectivamente então pelo teorema da mediana:
4PE^2=2BP^2+2PA^2-l^2
4PE^2=2BP^2+2PA^2-l^2 (1)...
- 3 Respostas
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Última msg por jvmago
Dom 02 Dez, 2018 12:16
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Geometria - Problema 1
Respostas: 4
por
jvmago » Sex 30 Nov, 2018 19:43
Tópico criado há 46 dias
Primeira Mensagem
A partir de um quadrado ABCD constroi-se um outro quadrado menor AEFG tal que os pontos G e F sejam internos ao quadrado maior e E externo. Se DG=\sqrt{2} e FC>DG determine FC
Última Mensagem
geogebra-export (5).png
Fiz por construção!
Traçando essas 3 perpendiculares fica fácil ver que pelo caso LAA_O que os \Delta BME e \Delta FEN são congrentes ou seja FN=ME e EN=BM , isso será muito...
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Última msg por jvmago
Dom 02 Dez, 2018 12:03
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OBM-2018 Questão 1 N2 - Contagem/Lógica
Respostas: 2
por
GabrielOBM » Dom 18 Nov, 2018 19:06
Tópico criado há 58 dias
Primeira Mensagem
1- Um cubo n×n×n é formado por n^3 cubinhos unitários e tem, inicialmente, um cubinho vermelho em somente um de seus vértices. Numeramos esse cubinho com o número 1. A cada dia a partir do dia 2, os...
Última Mensagem
Abriu uma janela aqui e acho que consigo responder agora.
Bem, a primeira coisa que pensei foi em determinar o maior número utilizado para preencher os cubinhos. Intuitivamente, sabia que era o...
- 2 Respostas
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Última msg por csmarcelo
Qui 29 Nov, 2018 16:38
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(AIME) Geometria
Respostas: 3
por
Babi123 » Sex 02 Nov, 2018 09:49
Tópico criado há 74 dias
Primeira Mensagem
Quadrados S_1 e S_2 são inscritos em um triângulo retângulo ABC , como
mostrado na figura abaixo. Determine AC + CB se área(S_1) = 441 e área(S_2) = 440 .
7.png
Última Mensagem
Seja P,N,K,C o quadrado maior com P sobre AC e N sobre AB . D,E,F,G estarão sobre AC,AF,EB,BC .
a primeira relação que tiramos de car é essa : (AC+BC)=\sqrt{AC^2+2*ACBC+BC^2}
O primeiro problema...
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Última msg por jvmago
Qui 29 Nov, 2018 11:48
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(OPM 2013) Geometria Plana
Respostas: 2
por
Babi123 » Qui 29 Nov, 2018 00:03
Tópico criado há 48 dias
Primeira Mensagem
Seja D um ponto interior do triângulo ABC tal que ∠BDC = 123^o , ∠ABD = 15^o e ∠ACD = 21^o . Calcular a medida do ângulo ∠BAC .
9.png
Última Mensagem
Não sabia desse Teorema, Obrigada! :D
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Última msg por Babi123
Qui 29 Nov, 2018 00:45
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Quadrado Perfeito
Respostas: 3
por
GabrielOBMEP » Dom 18 Nov, 2018 21:14
Primeira Mensagem
Prove que, para n natural,
se 2+2(28n^2+1)^(1/2) é inteiro, então é um quadrado perfeito
Última Mensagem
Primeiramente teremos:
28 n^2 +1 = k^2 => 28n^2=(k+1)(k-1) => 7n^2 =( \frac {k+1}{2})(\frac{k-1}{2}) , então teremos duas opções, uma, 7|k+1 ou 7|k-1.
No primeiro caso:...
- 3 Respostas
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Última msg por GabrielOBM
Dom 25 Nov, 2018 21:15
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Terror de Plana
Respostas: 3
por
jvmago » Sáb 24 Nov, 2018 15:50
Tópico criado há 52 dias
Primeira Mensagem
Marca-se, arbitrariamente, um ponto P , não sendo equivalente a nenhum ponto notável, no interior de um \Delta ABC equilátero. A partir de P traçam-se as perpendiculares PE,PD,PF relativas aos lados...
Última Mensagem
geogebra-export (1).png
Consegui resolver aqui, então vou deixar a resolução para futuras necessidades
Traçando 3 paralelas aos lados a partir de P Obtemos 3 triangulos equiláteros: \Delta MNP ,...
- 3 Respostas
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Última msg por jvmago
Dom 25 Nov, 2018 09:49
Permissões do fórum
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