Um tabuleiro de dimensões (n-1)x(n-1) é dividido em (n-1)^{2} quadrados unitários de maneira usual. Cada um dos n^{2} vértices destes quadrados são coloridos de vermelho ou azul. Ache o número de...

Seja ABC um triângulo acutângulo e sejam AN, BM e CP as alturas relativas aos lados BC, CA e AB, respectivamente. Sejam R, S as projeções de N sobre os lados AB, CA, respectivamente, e Q, W as...

não sei se o fórum de olimpíadas é o mais apropriado, mas como esse sistema apareceu enquanto estava resolvendo uma questão de olimpíada vou postar aqui
\begin{cases}
b+a\leq0 \\
b-a\geq 0...

Num quadrilátero ABCD de base AB , seja E o ponto médio do lado AD . além disso, tem-se 2CD=EC=BC=b . Cálcule a área de ABCD em função de b. Sabendo que ECB=120 .

Seja P um ponto no interior do triângulo equilátero ABC. Por P traçamos três retas paralelas aos lados de ABC , determinando três triângulos menores, de áreas 4, 9 e 49. Determine a área do triângulo...

Determine todos os inteiros positivos a, b e c tais que a²+1 e b²+1 são primos e (a²+1)(b²+1) = c²+1

Não consegui fatorar o resultado.

x^2 + \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} = x
Calculando o discrimante da equação resultante da acima, veremos que ele é negativo, logo a equação admite...

Considere os pontos M e N sobre os lados BC e CD do quadrado ABCD , tais que o ângulo MAN mede 45°

Prove que a diagonal BD divide o triângulo AMN em duas partes de mesma área.

Sejam n um inteiro positivo maior que 1 e p um primo positivo tal que n divide p-1 e p divide n^3-1. Mostre que 4p-3 é um quadrado perfeito.

Encontre o último dígito do número 1989^{1989}
minha solução que não sei se está correta está no spoiler

a ideia é ver outras soluções e pensar se essa solução está ou não correta

enunciado:
Igualdade com inteiros - Quais números naturais m e n satisfazem a
2^n+1=m^2 ?
La tem a solução, mas queria saber se está solução está correta
como m deve ser ímpar devemos achar a...

Um tanque cilíndrico está completamente vazio(volume zero).A torneira A, que é capaz de encher o tanque em duas horas foi aberta. Quando o nível do tanque atingiu a metade da sua capacidade, a...

(Putnam 1967) Seja ABCDEF um hexágono inscrito em uma circunferência de raio r de modo que AB=CD=EF=r . Prove que os pontos médios dos segmentos BC, DE, FA são vértices de um triângulo equilátero.

(Cone Sul/2009) Sejam A, B, e C três pontos tais que B é o ponto médio do segmento AC e seja P um ponto tal que ∠P BC = 60^{\circ} . São construídos o triângulo equilátero PCQ tal que B e Q estão em...

Uma sequência é definida por a_1 = 2 e a_n = 3a_{n−1} + 1 . Determine a soma a_1 + a_2 + . . . + a_n .

Não conclui, mas cheguei a :

a_n-a_{n-1}=3(a_{n-1}- a_{n-2})
a_{n-1}-a_{n-2}=...

Determine todos os polinômios P(x) de coeficientes reais que satisfazem a igualdade

P(a-b) + P(b-c) + P(c-a)=2P(a + b + c)
para quaisquer números reais a, b e c tal que ab + bc + ca=0.

Essa semana aconteceu a primeira Cyberspace Mathematical, uma olimpíada online organizada pelo fórum art of problem solving.... vou deixar registrado algumas questões aqui no fórum.

Seja f(x) =...

Seja ABC um triângulo acutângulo. A perpendicular de B que passa por AC encontra o círculo de diâmetro AC nos pontos P e Q e a perpendicular de C que passa por AB encontra o círculo de diâmetro AB...

Inteiros m e n , satisfazem a igualdade

(m-n)^2 = 4mn/m+n - 1

a) Prove que m+n é um quadrado perfeito.
b) Encontre todos os pares (m,n) satisfazendo a equação acima.

Seja ABCD um paralelogramo. A bissetriz de \angle BAD corta BC em M e o prolongamento de CD em N . Se O é o circuncentro do triângulo MCN , mostre que B,O,C,D são concíclicos.

A altura AD do \Delta ABC corta o circuncírculo em P . Prove que a Reta de Simson de P em relação a ABC é paralela à reta tangente ao círculo em A

Desafio de sábado para o pessoal

SABC é um Tetraedro com base ABC

SA=SB=SC=a

\frac{
Voluma de SABC = \frac{a^3\sqrt{\sqrt{6}-2}}{12}

Encontre AC