Qual é o menor inteiro positivo 𝑘 tal que a equação:
\sqrt{x-127}+\sqrt{k-x}=13
tem pelo menos uma solução real para 𝑥 ?

Demonstre que:
\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4-\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4- \ ...}}}}}}=2\(\cos\frac{4\pi}{19}+\cos\frac{6\pi}{19}+\cos\frac{10\pi}{19}\) .

Se um dado é lançado repetidamente, qual a probabilidade de exatamente dois 4's e um 5 aparecerem antes de ocorrer o primeiro 6?

R:1/27

Para cada inteiro positivo n , seja s(n) a soma dos quadrados dos dígitos de n . Por exemplo, s(15)= 1^2+5^2=26 . Determine todos os inteiros n\geq1 tais que s(n)=n .

Seja f_i(x), \ i=1,\ 2,\ 3,... definida por f_1(x)=\frac{1}{1-x} e f_{i+1}(x)=f_i(f_1(x)) . Então, f_{1998}(1998) é igual a:
a) 0
b) 1998
c) -\frac{1}{1997}
d) \frac{1997}{1998}
e) Nenhuma das...

Prove que, para coeficientes arbitrários a_{31},a_{30},...,a_2,a_1 , a soma \cos(32x)+a_{31}\cdot \cos(31x)+a_{30}\cos(30x)+...+a_2\cos(2x)+a_1\cos(x)
não pode assumir apenas valores positivos para...

Sejam f e h funções definidas por f(x) = 10 - \sqrt{2-x} ; x \in (-\infty ;-2) e h(x) = 4 - x; x \in (-\infty ,-3) ; sendo h = g(f(x)). Então g(x) vale:
a) x -4
b) 2x
c) 10 - \sqrt{x-2}
d) 10 +...

Não é bem questão de olimpíada, mas por outro lado eu não diria que se encaixa em ensino superior, muito menos médio e não tem cara de IME/ITA.

Na verdade é uma ideia que tive que resolvi...

Problema 1.10 - Se a < b, quantos números naturais existem nos intervalos (a,b], [a,b) e (a,b).

OBS: Por favor, gostaria de uma explicação do porquê de cada caso, pois não entendi.

Em uma festa, 99% sao homens, e ha 3 mulheres, quantos homens precisam sair para que o total na festa seja 98%?

Encontre todos os números reais positivos x,y satisfazendo o sistema de equações:
\begin{cases}
\sqrt{3x}\(1+\frac{1}{x+y}\)=2\\
\sqrt{7y}\(1-\frac{1}{x+y}\)=4\sqrt{2}
\end{cases}

Qual o algarismo das dezenas do produto dos 100 primeiros números primos ?

Se P(x) é um polinômio de grau n, tal que P(w)=\frac{1}{w} para w\in \{1,2,2^2,\dots,2^n\} , calcule P(0)

PROVE QUE OA²+OD²=OB²+OC².
GEOMETRIA B.png

Na figura, AB=AC e DE É Diâmetro do semicírculo . Determine a área de ABC:

Encontre todas as soluções (x,y,z,t) com x,y,z,t \in \mathbb{Z} do sistema abaixo:

\begin{cases}
xz - 2yt = 3 \\
xt + yz = 1
\end{cases}

Não compreendi a dedução do sistema para relação com...

(OBMEP) Na figura, cada um dos 4 segmentos contém três círculos. Os círculos devem ser numerados de 1 a 9, de modo que a soma dos números nos três círculos de cada segmento seja igual para todos os...

O inteiro n é tal que n.2^n possui 2008 divisores a mais que n . Qual é o valor de n? :?:

Seja H o ortocentro do triângulo acutângulo ABC . As tangentes traçadas por A do círculo de diâmetro BC intersectam o círculo em P e Q . Prove que P, Q\ e \ H são colineares.

O quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo S . Seja X o ponto de intersecção entre os lados AB \ e \ CD e W o ponto de interseção entre os lados AD \ e \ BC . As tangentes traçadas por X...

Alguém teria resoluções das OBM 2018 e 2017 ? Comecei a resolver as provas agora e estou tendo dificuldades em algumas questões e elas não possuem gabarito, se puderem recomendar leituras também para...

Encontrar todos os pares (x,y) de inteiros, tais que:
xy+\frac{x^3+y^3}{3}=2007

:?: O plano é pintado usando três cores. Prove que podemos encontrar um triângulo retângulo isósceles com os três vértices da mesma cor.