Simplifique a expressão:
S=\frac{2^{2}-1}{2^{2}}\times \frac{3^{2}-1}{3^{2}}\times \frac{4^{2}-1}{4^{2}}\times \cdot \cdot \cdot \times \frac{2012^{2}-1}{2012^{2}}

Prova de Matemática - Canguru Matemático sem Fronteiras nível II

24. A máquina da Ana converte uma ficha cinzenta em três fichas brancas e uma ficha branca em duas fichas cinzentas.
Na máquina só...

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30. Se for retirado um qualquer algarismo a um certo número natural de quatro algarismos, obtém-se um número de...

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4. Lançando simultaneamente três dados cúbicos, com as faces numeradas de 1 a 6, e adicionando os pontos das...

Quando é que os elementos de um conjunto representam um QUADRADO PERFEITO

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28. Qual é o menor número de...

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Seja ABC um triângulo cuja medida da área é S e seja D o ponto médio do segmento BC. Se P, Q e R são pontos das...

Seja f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} uma função estritamente crescente (isto é, se x< y ,então f(x) < f(y) ) tal que f(2) = 2 e f(mn) = f(m)f(n) para todo par de inteiros positivos m e n primos...

Considere a equação funcional

f(xy) = f(x)+f(y), \forall x,y \in Dom(f)

Mostre que se 0 \in Dom(f) ,então existe uma única solução para a equação dada.

Se f(n+1) = (-1)^{n+1} \cdot n - 2f(n) para os inteiros n \geq 1 e f(1)=f(2013) , determine o valor da soma:

f(1)+f(2)+f(3)+ \cdots f(2012)

A função f é definida para todos os pares ordenados (x, y) de inteiros positivos e tem as seguintes propriedades:

I. \, f(x,x) = x
II. \, f(x,y) = f(y,x)
III. (x+y)f(x,y) = yf(x,x+y)

Qual é o...

A função f é definida para todos os pares ordenados (x, y) de inteiros positivos e tem as seguintes propriedades:

I. \, f(x,x) = x
II. \, f(x,y) = f(y,x)
III. (x+y)f(x,y) = yf(x,x+y)

Qual é o...

Seja f: \mathbb{Q_+^*} \rightarrow \mathbb{Q_+^*} uma função tal que

f(xf(y)) = \dfrac{f(x)}{y} \, ,\, \forall x,y \in \mathbb{Q_+^*}

Mostre que f(f(x))= \dfrac{1}{x}, \forall x \in \mathbb{Q_+^*}

Considere uma função f definida no conjunto dos números naturais tal que

f(n+2) = 3 + f(n) ,\, \forall n \in \mathbb{N}

Sabe-se que f(0) = 10 e f(1)=5 , qual é o valor de \sqrt{f(81)-f(70)} ?

Determine todas as funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} satisfazendo

f(x)f(y)-f(xy) =x+y, \, \forall x,y .

Para todos os inteiros x , a função f satisfaz f(x+1) = \dfrac{1+f(x)}{1-f(x)} . Se f(1) = 3 , calcule f(2012) .

Seja f uma função satisfazendo f(xy) = \dfrac{f(x)}{y} para todos os números reais positivos x e y .
Se f(500)=3 , qual o valor de f(600) ?

Eu não podia deixar de fazer esses últimos dois tópicos depois de ter começado os outros, desculpem qualquer coisa.
Começamos definindo segmentos orientados, atribuímos um sinal ao segmento...

Seja f uma função com duas propriedades:

I. \,f(x + y) = x + f(y), ∀x, y ∈ \mathbb{R};
II. \, f(0) = 2

Determine o valor de f(2012) .

Seja f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} uma função satisfazendo

f(n^2) = f(n+m)f(n-m) + m^2 , \, \forall m,n \in \mathbb{Z}

Determine o conjunto de todos os valores possíveis de f(0) .

Seja f : \mathbb{R_+ ^*} \rightarrow \mathbb{R} uma função satisfazendo uma equação funcional

f(a)+f(b) = f(ab) , \forall a,b \in \mathbb{R_+^*}

Mostre que:

a) f(1) = 0

b) f(a^n) = n \cdot...

Determine todas as funções f: \mathbb{Z_+}\rightarrow \mathbb{Z_+} uma função tais que f(1) =c e,

f(x+y) = f(x) + f(y) \, \forall x,y \in \mathbb{Z_+} .

Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função tal que f(0)=1 e, para quaisquer x,y \in \mathbb{R} ,

f(xy+1) = f(x)f(y) - f(y) - x + 2

Determine o valor de f(2012)

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27. Em cada vértice de um quadrado é marcado um número inteiro positivo.
Para quaisquer dois números unidos por...

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26. As letras a, b e c representam números inteiros positivos.
Cada um destes números tem três algarismos e, em...

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24. Quantos planos passam exatamente por três dos vértices de um dado cubo?

(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 (E) 12

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23. Os números inteiros de 1 a 99 estão escritos por ordem crescente e sem espaços entre eles.
Esta sequência...

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22. Dois pontos esão marcados sobre um disco circular que está a rodar em torno de seu centro a uma velocidade...

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21. Um quadrado tem dois dos seus vértices sobre uma semicircunferência e os outros dois no diâmetro da...