(POTI 2012) (i) Se n é um inteiro positivo tal que 2n+1 é um quadrado perfeito, mostre que n+1 é a soma de dois quadrados perfeitos sucessivos.
(ii) Se 3n+1 é um quadrado perfeito, mostre que n+1 é a...

Seja ABCD um quadrilátero convexo e M e N os pontos médios dos lados CD e AD, respectivamente. As retas perpendiculares a AB passando por M e a BC passando por N cortam-se no ponto P. Prove que P...

Encontre todos os inteiros positivos a,b,c,d tais que:

2^a = 3^b \cdot 5^c + 7^d

Demonstre que se mdc(a, b) = 1 , então todos os divisores primos ímpares de a^2+b^2 são da forma 4k + 1 .

Seja ABC um triângulo equilátero, e D,E e F pontos sobre os lados BC,CA e AB , respectivamente.
Se \angle BAD + \angle CBE + \angle ACF \geq 120° , prove que todo P no interior do triângulo ABC...

Seja p \geq 5 um número primo. Encontre a quantidade de polinômios irredutíveis em \mathbb{Z} da forma

x^p + px^k + px^l+1, \,\,\,\,k>l, \,\,\, k,l \in \{1,2,\cdots p-1\}

1. Os papeis A0, A1, A2, A3, A4, A5, ... satisfazem uma interessante propriedade. Cada um deles é o dobro do posterior, isto é, ao dobrar uma folha de A0 ao meio obtemos uma folha de A1; ao dobrar...

Dados os números naturais distintos x,y,z , prove que:

mdc(xy+1,yz+1,xz+1) \leq \dfrac{x+y+z}{3}

Seja x o lado do quadrado, determine a medida do raio da circunferência hachurada em função de x . (Obs.: A circunferência hachurada é tangente ao quadrante e as duas semicircunferencias construidas...