Olá victor10mil ,

(a -\frac{1}{a}) .(b + \frac{1}{b})

ab + \frac{a}{b}- \frac{b}{a} -\frac{1}{ab}

\frac{a^2-b^2-1+(ab)^2}{ab}=\frac{a^2-b^2-1+1}{1}=a^2-b^2

Acredito que seja isso.

Essa questão está resolvida, com os lemas usados todos demonstrados, no capítulo 3 do livro Elementos de Matemática VOL 4, do Marcelo Rufino. Foi uma questão do IME de 65/66, segundo o livro....

178.png
acho que a complicação é provar que BPQD são colineares
não consegui provar isso, ainda mais sem relações entre os raios

Olá
Defina
a(x) = x²+ax+1
b(x) = x²+bx+c
c(x) = x²+x+a
d(x) = x²+cx+b
a(x) e b(x) têm uma raiz comum
dividindo a(x) por b(x) pelo método das chaves, obtemos quociente 1 e resto (a-b)x+(1-c)
ora, mas...

Olá
No livro Tópicos de Matemática IME-ITA-Olimpíadas , do Carlos A. Gomes e José Maria Gomes, tem esse problema pra n = 1000. Ele chama de Deserto de primos

Segue a solução do caso n = 1000....

Partindo do ponto A, para ir da primeira coluna até a segunda, temos 6 opções: ir para a direita; ir para cima uma vez e para a direita; ir para cima duas vezes e para a direita; ... até ir para cima...

Bom dia Tassandro.
gab errado.
Agradeço..

AngelitaB ,
De modo genérico
\frac{1}{α_i}+\frac{1}{θ_i}=\frac{α_i+θ_i}{α_iθ_i}=\frac{2}{-a^2-a}=-2\(\frac{1}{a(a+1)}\)=-2\(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\)
Assim, teremos uma soma telescópica, e os...

Zhadnyy ,
Arcos iguais determinam cordas iguais. De congruências de triângulos, podemos obter que
AC=BF=x,AD=BE=y e AE=BD=z
20211109_075403.jpg
Ptolomeu em ABCD:
81y+31\cdot81=xz
Ptolomeu em...

Zhadnyy ,
Façamos
\cotg x-\cotg 2x=\frac{\sen 2x\cos x-\sen x\cos 2x}{\sen2x\sen x}=\frac{1}{\sen 2x}=\cossec2x
Logo, a expressão dada vale
\cotg\frac x2-\cotg x+\cotg\frac x4-\cotg\frac...

Zhadnyy ,
Fazendo \senθ=s e \cosθ=c , vem que
\frac sx=\frac cy=k\\
\frac{c^4}{x^4}+\frac{s^4}{y^4}=\frac{194sc}{xy(x^2+y^2)}\\
\frac{k^4(x^8+y^8)}{x^4y^4}=\frac{194k^2xy}{(xy)(x^2+y^2)}\\...

AngelitaB ,
Temos que
M=\frac{(1+a)(1-b)(1-c)+(1+b)(1-a)(1-c)+(1+c)(1-a)(1-b)}{(1-a)(1-b)(1-c)}=\frac{X}{Y}
Vamos às contas
(1+a)(1-b)(1-c)=1+a-b-c+bc-ab-ac+abc\\...

P(x)\!=x^4\!\!+\!ax^3\!\!+\!bx^2\!\!+\!cx\!+\!d=(x\!-\!r_1)(x\!-\!r_2)(x\!-\!r_3)(x\!-\!r_4)\quad\text{com }r_1,r_2,r_3,r_4\text{ raízes de }P(x)\!=\!0\text{ e }r_1r_2\!=\!r_3r_4\!=\!r\\...

Vamos trabalhar com a expressão:
(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(1+d^2)=(1+a^2+b^2+a^2b^2)(1+c^2+d^2+c^2d^2)...

Vamos fazer uma tentativa de justificativa aqui.
A menor soma é do subconjunto {1,2,3}, que vale 6, e a maior soma é do subconjunto {61,62,63}, que vale 186.
Ou seja, todos os valores entre 6 e 186...

\begin{align}
f(x,y)&=\dfrac{(a+b\sin x)^2+(a+b\cos x)^2+(c+d\sin y)^2+(c+d\cos y)^2}{a^2+b^2+c^2+d^2}\\
&=\dfrac{2a^2+b^2+2ab(\sin x+\cos x)+2c^2+d^2+2cd(\sin y+\cos y)}{a^2+b^2+c^2+d^2}\\...

Temos que (ab)_{10}=10a+b e (bxax)_{10}=1000b+100x+ 10a+x=1000b+101x+10a . Temos:
n^2=1000b+101x+10a
(10a+b)^2=1000b+101x+10a
100a^2+20ab+b^2=1000b+101x+10a
100a^2+20ab+b^2\equiv...

Olá, SkyWalker17

Quando o enunciado diz que a,b,c e d são raízes, podemos substituir esses valores nas suas respectivas equações.
Daí conseguimos o seguinte:

I) a²-3ca-8d III) c²-3ac-8b
II)...

Saiu mais um pouco!

Seja M a intersecção da reta tangente ao círculo azul no ponto L com o lado AB . Lema: M é o ponto médio de AN . Prova:

Temos que o ângulo CLM é reto devido as tangentes. Também...

Obgda :wink:

Uma solução alternativa mas mais mecânica seria aplicar o teorema interpolador de Lagrange, o que nos dá:...

Zhadnyy ,
AngelitaB ,

Uma maneira menos trabalhosa de se chegar a essa conclusão seria por meio do teorema fundamental da álgebra.

Sabemos que

P(x)=x^3-3x-1=(x-θ_1)(x-θ_2)(x-θ_3)

Logo, para...

Também deve sair por TEOREMA DE GIRARD, usando derivadas.
Lembrando que o teorema de Girard diz que
p'(x)/p(x) = Somatório de 1/(x-r)
Onde r é cada uma das raízes de p(x)
Se você derivar duas vezes...

Começando do mais fácil
10^4 = 10000
10^4 - 2003 = 7997
10^5 - 2003 = 97997
10^6 - 2003 = 997997

Então seja 10^k
Quando k = 4, temos 2 numeros 9
Quando k = 5, temos 3 números 9
Quando k = 6, temos...