Seja f(x) uma função que satisfaz
f(29+x)=f(29-x)
Se f(x) tem exatamente três raízes reais
\alpha ,\beta ,\gamma ,determine o valor de \alpha +\beta +\gamma .

Determine todos os inteiro a e b de modo que (a^{3}+b)(a+b^{3})=(a+b)^{4}

Ache todos os primos p para o qual existem inteiros positivos (n, x, y) tal que:
p^n=x^3+y^3

Considere a função f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} satisfazendo as condições a seguir:
a) f(1)=2
b) f(2n)=2f(n)+1
c) f(f(n))=4n+1
Calcule f(1993)

Ache todos os pares de inteiros a,\ b tais que a+b é uma raiz da equação:
x^2+ax+b=0

considere a equação 3x^2-4x+k=0 com raízes reais. Determine o valor de k para o qual o produto das raízes seja máximo.

Um número é dito especial se ele tem dois ou mais algarismos e é múltiplo da soma dos seus
algarismos. Por exemplo, 12 é especial pois é múltiplo de 1 + 2 = 3 .
(a) Encontre três números especiais...

Demonstrar que 4 não divide n^2+2 para todo n \in \mathbb{Z}

No triangulo ABC, D ´e ponto medio de AB e E ponto sobre o lado
BC tal que BE = 2 · EC. Sabendo que ∠ADC = ∠BAE, calcule o valor de ∠BAC

Se:
\begin{cases}
a+b+c=7 \\
\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{7}{10}
\end{cases}
Quanto vale a soma: \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} ?
a) \frac{19}{10}
b) \frac{17}{10}...

Determine todos inteiros positivos n tal que:

\frac{n^2+1}{ ^2+2}

é um número inteiro.

é a parte inteira de n.

(Maio 2006) Um retângulo de papel 3cm × 9cm é dobrado ao longo de uma reta,
fazendo coincidir dois vértices opostos. Deste modo se forma um pentágono. Calcular sua área.

Prove que o número:
c=\sqrt {\frac{1}{9}}+\sqrt {-\frac{2}{9}}+\sqrt {\frac{4}{9}}
é uma raiz de:
f(x)=x^3+\sqrt {6}\cdot x^2-1

(OBM 2006) ABC é um triângulo retângulo e M e N são pontos que trissectam
a hipotenusa BC. Sejam X e Y os simétricos de N e M em relação ao ponto A. Determine a área do quadrilátero XYCB, sabendo que...

Prove que não existe inteiros positivos a,b,c tais que:
a^2+b^2+c^2=a^2b^2

Dado u_0, \ u_1 com 0 < u_0, \ u_1<1 , defina a sequência (u_n) recorrente pela fórmula:
u_{n+2}=\frac{1}{2}\(\sqrt{u_{n+1}}+\sqrt{u_n}\)

I) Prove que a sequência (u_n) é convergente e encontre...

Compute a soma:
S=\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+...+\frac{2010}{2008!+2009!+2010!}

Encontre a soma:
E=\sen x+\sen\(x+\frac{\pi}{4}\)+\sen \(x+\frac{2\pi}{4}\)+...+\sen\(x+\frac{99\pi}{4}\)

Seja ABC um triângulo equilátero de lado 1, D é um ponto sobre \overline{BC} e sejam r_1
e r_2 os raios das circunferências inscritas nos triângulo ABD e ADC ,
respectivamente.
3.png
a) Expresse...

(Torneio das Cidades 1994) No triângulo ABC, retângulo em C, os pontos M e
N são escolhidos sobre a hipotenusa de modo que BN = BC e AM = AC. Ache a medida do
ângulo ∠NCM.

Considere a figura, onde os pontos de A até I estão sobre uma circunferência. Sabe-se que o triângulos ABC e GHI são isósceles, que AB, CD, EF e GH são segmentos paralelos e que BC, DE, FG e HI são...

Existe o número real a , tal que as quatro raízes distintas de 16x^4-ax^3+(2a+17)x^2+16=0 formam uma progressão geométrica. Encontre a .

(Congruencia) Sejam ABC um triângulo de circuncírculo ω1, O o circuncentro de ABC e ω2 o ex-incírculo relativo ao lado BC. Se M, N, L são os pontos de tangência de ω2 com as retas BC, AC, AB e os...

Mostre que dado um primo qualquer p , existem inteiros (x,y,z,w) satisfazendo:

x^2+y^2+z^2-wp=0 .

Com 0 < w < p

No triângulo retângulo ABC da figura abaixo está inscrito um quadrado. Se \overline{AB} = 20 e \overline{AC} = 5 , que porcentagem a área do quadrado representa da área do triângulo ABC ?
3.png
A)...