Vamos ver

ap-1+ap-a^2=p(ap-1)(p-a)

2ap-1-a^2=p(ap^2-a^2p-p+a)

2ap-1-a^2=ap^3-a^2p^2-p^2+ap

-2ap+1+a^2+ap^3-a^2p^2-p^2+ap=0

a^2-a^2p^2+ap^3-ap-p^2+1=0

(1-p^2)a^2+(p^3-p)a-p^2+1=0...

É só ir elevando ao quadrado, e veja que a resposta não causa valor negativo dentro da raiz!

Pelo lema de Euclides:

mdc(a^3+2a, a^4+3a^2+1) = mdc(a^3+2a, a^4+3a^2+1-a\cdot(a^3+2a)) = mdc(a^3+2a,a^2+1)

mdc(a^3+2a,a^2+1) =mdc(a^3+2a-a\cdot (a^2+1), a^2+1) = mdc(a, a^2+1) = mdc(a,...

Os 15 cm encontrados não é o tamanho do lado do trapézio real, 15 cm é o tamanho do lado do trapézio da figura 2, que é uma projeção do trapézio real, como estamos olhando de cima e o trapézio esta...

Uma solução alternativa seria perceber que a expressão a 2 + b 2 - ab = c 2 satisfaz a lei dos cossenos para c = 60°
Logo a + b + c = 180°=> a + b = 120°
Como a, b e c são distintos, podemos supor...

isabelladias , o professor Nicolau Saldanha nessa vídeo aula do POTI começa justamente com este problema q vc colocou. Veja é muito boa a aula!

I. Primeiro faremos \sqrt{x^2+1} = a e \sqrt{y^2+1} = b
x + a = \frac{1}{b+y} = \frac{b-y}{(b-y)(b+y)} = b - y
II. x + a = b -y ==> x + y = b - a ==> eq.I
III. Fazendo agora o processo contrário...

I. a 2 (b+c) = b 2 (c+a)

Fazendo a distribuição chegamos em:
a 2 b - ab 2 = b 2 c - a 2 c ==>
ab(a-b) = c(b-a)(b+a)
ab(a-b) = -c(a-b)(b+a)
-c(b+a) = ab => equação 1.

II. Multiplicando por -c dos...

a+ b = -(c+d) \Longrightarrow a^3 +b^3 + 3ab(a+b) = - c^3 -d^3 - 3cd(c+d) \\ a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = - 3ab(a+b) - 3cd(c+d) \\ ab(a+b) + cd(c+d) = 0 \\ -ab(c+d) + cd(c+d) = 0 \\ (c+d) (cd-ab) = (c+d)...

Foi a única forma que encontrei. Pode ser que haja outra mais direta, no entanto não consegui visualizar outra forma de resolver.

\frac{k^{3}-1}{k^{3}+1}=\left(\frac{k-1}{k+1}\right).\left(\frac{k^2+k+1}{k^2-k+1}\right)

\frac{k^{3}-1}{k^{3}+1}=\left(\frac{k-1}{k+1}\right).\left

para k variando de 2 até 100 o produto das...

A distância de qualquer vértice ao centro do cubo é sempre igual. Sendo (x,y,z) o centro do cubo, então:

(x-3)^2 + (y-4)^2 + (z-1)^2 = (x-5)^2 + (y-2)^2 + (z-9)^2 = (x-1)^2+(y-6)^2 + (z-5)^2

-3x...

Muito boa a indicação Andre13000 , muito obrigado! :lol:

sim é isso mesmo como os dois não podem ser maior que raiz de n ao mesmol tempo um deles vai ter que ser menor ou igual

Fiz por geometria analítica, nos seguintes passos:

1) Ponha: A = (0,0) e B = (1,0)
2) Determina as coordenadas de M e C utilizando os dados no enunciado.
3) Calcule a equação da reta AM. (Você...

Se você estiver interessado, há fórmulas semelhantes no livro de Berndt dos cadernos de Ramanujan, livro 4, no capítulo de resultados elementares. Esta em especial não aparece, infelizmente.

Basta notar que:

\sum_{k=1}^n 1=n\\
\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}\\
\sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3!}

Ou seja, basta provar que \sum_{k=1}^n k(k+1)\dots...