Atendendo a vários pedidos, o fórum TutorBr lança a primeira maratona de exercícios de olimpíadas sobre teoria dos números. .
Usualmente as olímpiadas são dividias em questões de teoria dos números,...
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Solução do problema 81
sejam nA e B os produtos dos 2 subconjuntos
nA=B\implies nA^2=AB=(n+1)\cdots(n+5)
a ideia é olhar a igualdade modulo 7
note que temos 6 números consecutivos, de forma que...
Criei uma playlist no canal para postar as resoluções de todas questões do ENEM 2017 de Matemática .
Já fiz todas resoluções e programei para o Youtube postar 2 vídeos por dia nos...
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Prof. Caju essa é a minha primeira aparição nesse Forum (seria o meu post de batismo), pra mim é uma honra poder participar de um espaço tão valoroso como esse, em breve espero poder contribuir da...
Mostre que as tres mediatrizes aos lados de um triângulo se encontra em um ponto.
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Outra resolução:
Seja o triângulo ABC, trace as mediatrizes DP e EP.
\mathtt{
\triangle BDP \cong\triangle CDP(L.A.L.)\\
\therefore BP=PC\\
\triangle APE \cong \triangle CPE\\
\therefore AP=PC\\...
(canadá-77)seja O o centro de uma circunferência e A um ponto no interior do círculo distinto de O.Determine todos os pontos P na circunferência do círculo tais que o ângulo OPA E máximo.
OS LADOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO SÃO NÚMEROS INTEIROS,TAIS QUE O DOBRO DO CUBO DE UM CATETO SUBTRAÍDO DO CUBO
DA HIPOTENUSA É IQUAL AO OUTRO CATETO, ENTÃO A ÁREA DESSE TRIÂGULO É.
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He he...tem cada loucura mesmo nesse meio...
Acho , a propósito,que aquela da formiga deve ter como resposta 1 ou seja o maior caminho percorrido será quando x for o menor possível ou seja 1 .
O triângulo abaixo ABC e octângulo , sendo o ponto E o pé da altura relativa ao lado AC, e F o ponto médio de AB, se BE=CF=4, a área do triângulo ABC é.
Na circunferência de centro 0 as cordas AB \perp CD no ponto L . A circunferência inscrita no triangulo ABC tem raio 3 , sendo o segmento AL=4 e \widehat{AC} =2\widehat{AD} . O valor de R é?
Num triângulo isósceles ABC com AB=BC, temos AC=BH, onde BH é a altura relativa ao lado AC. Traçando uma reta BD que corta o prolongamento da reta AC em D de tal forma que os raios do círculos...
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FelipeMartin , obrigado pela solução deste problema!
Num triângulo ABC, seja AP a bissetriz de \angle BAC com P no lado BC, e seja BQ a bissetriz de \angle ABC com Q no lado CA. Sabemos que \angle BAC=60^\circ e que AB + BP = AQ + QB. Quais são os...
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rean ,
Segue 2 soluções da net (probability1.01 e Marinchoo)
D é ponto médio de BC
I_1,I_2 são incentros dos triângulos ABD e ACD
X é a intersecção do cicuncírculo de ABC com o círculo que passa por I_1,I_2 e A
Prove que X é ponto médio do arco BC
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A minha solução acima funciona, mas aqui vai outra:
Seja I_3 o reflexo de I_2 em relação a DX . Então I_3 é o conjugado isogonal de I_1 no \triangle BDX , ou seja, \angle I_3DX = I_1DB e \angle...
Na figura, considere:
\begin{cases}ABCD \ é \ um \ quadrado;\\
\\E,F,G,H,J \ são \ pontos \ de \ tangência;\\
\\M \ é \ ponto \ médio \ de \ BC;\\
\\K=\odot(F,J,M)\cap HF\\
\end{cases}
Prove que...
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Babi123 , se você encontrar o eixo radical entre o círculo azul e o amarelo, acho que dá pra tirar uma solução bacaninha
Considere a função quadrática f(x) = –x^2 + 4px – p + 1 . Seja S a área do triângulo em
que dois dos vértices são os pontos de intersecção de f(x) com o eixo das abcissas, enquanto que o terceiro...
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Sejam A(x_1,0), B(x_v,y_v)\text{ e }C(x_2,0) os vértices do triângulo cuja área S queremos determinar,
em que x_1< x_2 são as raízes de f(x)=0 e (x_v,y_v) são as coordenadas do vértice de f(x).
De...
Livro Um passeio pelos primos e outros números familiares 1.4
Mostre que são primos entre si
2 15 -1 e 2 10 +1
Tentei usar o algoritmo de Euclides mas não encontro uma maneira de simplificar
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A ideia é usar o algoritmo de Euclides mesmo e lembrar que,
se a,b\in\mathbb{Z}, então \text{mdc}(a,b)=\text{mdc}(-a,b)=\text{mdc}(a,-b)=\text{mdc}(-a,-b).
Agora, veja que:...
Sejam A e B dois conjuntos finitos e não vazios. Seja A + B o conjunto definido por \{a + b | a ∈ A, b ∈ B\} .
a) Encontre o maior inteiro k possível para o qual existem conjuntos A, B ⊂ \mathbb{N}...
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obs: como A + B tem 0, acho que o problema está considerando N com 0
o item A é fácil pq k-1 + k-1 \le max A + max B \le 2016
para o item b vamos provar o seguinte lema.
lema: |A + B| >= |A| + |B| -...
Seja A um conjunto de inteiros positivos satisfazendo:
a) Se a ∈ A , então todos os divisores positivos de a estão em A .
b) Se a, b ∈ A , com 1 < a < b, então 1 + ab ∈ A .
Prove que se A tem pelo...
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vamos usar indução.
1º caso) n composto > 5:
nesse caso n = ab, onde todos os números {1, 2, ..., ab-1} estão em A, suponha a diferente de b.
consigo ab + 1 e depois junto ab+1 com ab-1 já que por...
Seja ABC um triângulo isósceles ( AB=AC ) e retângulo em A . Os pontos M e N estão sobre o lado BC , com M entre B e N , de tal forma que BM^2+NC^2= MN^2 . Determine a medida do ângulo \hat{MAN} .
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Copie o triângulo \triangle ANC sobre o lado AB de forma que \triangle ABN' \cong \triangle ACN . Podemos fazer isso, pois AB = AC .
Pronto. Basta olhar pro \triangle MBN' que tem \angle MBN' =...
Os dois círculos de raio 1 são tangente aos lados do triângulo equilátero e ao arco de circunferência destacado em vermelho. Determinar a medida do lado do triângulo equilátero.
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acho que está pra vir mais coisa; mas, já me deram o seguinte:
Siga a figura acima, com M o ponto médio de BC . Uma coisa que eu não reparei é que os círculos roxos são simétricos em relação a AM...
Na figura a seguir \Delta ABC é um triângulo equilátero e ACDE é um retângulo. Determine a razão entre as áreas \frac{ }{ } e prove que (B,G,H,F) e (F,G_1,H,B) são conjugados harmônicos.
