Olimpíadas ⇒ Círculos tangentes

[Babi123]

Na figura, considere:
[tex3]\begin{cases}ABCD \ é \ um \ quadrado;\\
\\E,F,G,H,J \ são \ pontos \ de \ tangência;\\
\\M \ é \ ponto \ médio \ de \ BC;\\
\\K=\odot(F,J,M)\cap HF\\
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}ABCD \ é \ um \ quadrado;\\
\\E,F,G,H,J \ são \ pontos \ de \ tangência;\\
\\M \ é \ ponto \ médio \ de \ BC;\\
\\K=\odot(F,J,M)\cap HF\\
\end{cases}[/tex3]

Prove que: [tex3]\begin{cases}H,G,M \ são \ colineares;\\
\\HF\perp BC;\\
\\K\in CJ\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}H,G,M \ são \ colineares;\\
\\HF\perp BC;\\
\\K\in CJ\end{cases}[/tex3]

978879887.jpg (30.45 KiB) Exibido 937 vezes

Autor: Kadir Altıntaş

[FelipeMartin]

[tex3]M[/tex3]

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[tex3]M[/tex3]

é centro de homotetia entre [tex3]\gamma_B = \odot (B,BA)[/tex3]

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[tex3]\gamma_B = \odot (B,BA)[/tex3]

e [tex3]\gamma_C = \odot (C,CD)[/tex3]

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[tex3]\gamma_C = \odot (C,CD)[/tex3]

.

[tex3]G[/tex3]

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[tex3]G[/tex3]

é centro de homotetia entre [tex3]\omega = (HGE)[/tex3]

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[tex3]\omega = (HGE)[/tex3]

e [tex3]\gamma_B[/tex3]

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[tex3]\gamma_B[/tex3]

.

[tex3]H[/tex3]

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[tex3]H[/tex3]

é centro de homotetia entre [tex3]\omega[/tex3]

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[tex3]\omega[/tex3]

e [tex3]\gamma_C[/tex3]

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[tex3]\gamma_C[/tex3]

.

O teorema de Monge-d'Alembert garante que [tex3]M,G[/tex3]

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[tex3]M,G[/tex3]

e [tex3]H[/tex3]

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[tex3]H[/tex3]

são colineares.
Não sei provar os outros dois, mas gostei bastante desses resultados.

[FelipeMartin]

Achou solução desse?

[Babi123]

Pesquisando encontrei essa:

parte 1.jpg (50.37 KiB) Exibido 773 vezes

Parte 2.jpg (45.77 KiB) Exibido 773 vezes

parte 3.jpg (33.94 KiB) Exibido 773 vezes

Solução feita por Juan José Isach Mayo

[FelipeMartin]

Babi123, se você encontrar o eixo radical entre o círculo azul e o amarelo, acho que dá pra tirar uma solução bacaninha