Olimpíadas ⇒ Geometria Plana Tópico resolvido

[rean]

Num triângulo isósceles ABC com AB=BC, temos AC=BH, onde BH é a altura relativa ao lado AC. Traçando uma reta BD que corta o prolongamento da reta AC em D de tal forma que os raios do círculos inscritos nos triângulos ABC e CBD sejam iguais. Determine o ângulo [tex3]\widehat{ABC}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\widehat{ABC}[/tex3]

.

Resposta

---

Resp 90°

[geobson]

..........up...............

[FelipeMartin]

teste.png (30.58 KiB) Exibido 822 vezes

[tex3]\tg(\angle H_1BC) = \frac 12 \implies \angle ABC = 53^{\circ} \implies[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tg(\angle H_1BC) = \frac 12 \implies \angle ABC = 53^{\circ} \implies[/tex3]

[tex3]\implies \tg(\angle H_1CI_1) = \frac{\cos (\frac{53}2)}{1 + \sen(\frac {53}2)} = \frac1{\frac{1+\sqrt5}2 } = \frac{\sqrt5-1}2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\implies \tg(\angle H_1CI_1) = \frac{\cos (\frac{53}2)}{1 + \sen(\frac {53}2)} = \frac1{\frac{1+\sqrt5}2 } = \frac{\sqrt5-1}2[/tex3]

Seja [tex3]x = CH_1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = CH_1[/tex3]

e [tex3]r = I_1H_1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r = I_1H_1[/tex3]

, então:

[tex3]r = x \frac{\sqrt5-1}2 \iff x = r\frac{\sqrt5+1}2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r = x \frac{\sqrt5-1}2 \iff x = r\frac{\sqrt5+1}2[/tex3]

, logo [tex3]BI_1 = 2x-r = r\sqrt5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BI_1 = 2x-r = r\sqrt5[/tex3]

[tex3]\triangle CH_1I_1 \sim \triangle I_2H_2C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle CH_1I_1 \sim \triangle I_2H_2C[/tex3]

:

[tex3]\frac{CH_2}{r} = \frac{r}{x} \iff CH_2 = r\frac{\sqrt5-1}2 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{CH_2}{r} = \frac{r}{x} \iff CH_2 = r\frac{\sqrt5-1}2 [/tex3]

[tex3]I_1I_2 = CH_1 + CH_2 = r(\frac{\sqrt5-1}2 + \frac{\sqrt5+1}2 ) = r\sqrt5 = BI_1 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]I_1I_2 = CH_1 + CH_2 = r(\frac{\sqrt5-1}2 + \frac{\sqrt5+1}2 ) = r\sqrt5 = BI_1 [/tex3]

logo [tex3]\triangle BI_1I_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle BI_1I_2[/tex3]

é retângulo e isósceles, logo [tex3]\angle I_1BI_2 = 45^{\circ} \implies \angle ABD = 2 \cdot 45 = 90[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle I_1BI_2 = 45^{\circ} \implies \angle ABD = 2 \cdot 45 = 90[/tex3]

deve ter um jeito mais simples. Se alguém encontrar, poste ai.

[geobson]

FelipeMartin, obrigado pela solução deste problema!