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Do começo: [tex3]\triangle BAE \cong \triangle BCD[/tex3]
por L-A-L nos vértices [tex3]A[/tex3]
e [tex3]C[/tex3]
, logo [tex3]\angle ABE = \angle CBD[/tex3]
. Sejam [tex3]X = BE \cap AC[/tex3]
e [tex3]Y = BD \cap AC[/tex3]
, então [tex3]\triangle XAE \cong \triangle YCD[/tex3]
pois ambos são retângulos, com [tex3]\angle AEX = \angle CDY[/tex3]
e [tex3]AE = CD[/tex3]
, logo [tex3]EX = DY[/tex3]
, portanto [tex3]\triangle YXE \cong \triangle XYD[/tex3]
por LAL em [tex3]X[/tex3]
e [tex3]Y[/tex3]
.
[tex3]\angle G_1ED = \angle G_1YX = \angle G_1XY = \angle G_1DE[/tex3]
Portanto, [tex3]G_1[/tex3]
está na mediatriz de [tex3]ED[/tex3]
, que é a mediatriz de [tex3]AC[/tex3]
, logo a reta [tex3]BG_1[/tex3]
é mediatriz de [tex3]AC[/tex3]
, logo [tex3]H[/tex3]
e [tex3]F[/tex3]
são pontos médios respectivamente de [tex3]AC[/tex3]
e [tex3]ED[/tex3]
; e [tex3]G \in BG_1[/tex3]
.
Sabemos que o quadrilátero [tex3]BAG_1C[/tex3]
é harmônico, pois [tex3]AG_1 \cdot BC = G_1C \cdot AB[/tex3]
.
Depois eu continuo, pois preciso verificar se é verdade que um feixe de retas que passe pelos vértices de um quadrilátero harmônico é um feixe harmônico. Se isso for verdade, o problema sai "fácil". EDIT: esse resultado não é válido, então deve ter outro jeito.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.