Olimpíadas ⇒ pontos P na circunferência Tópico resolvido
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geobson
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Mai 2019
28
21:57
pontos P na circunferência
(canadá-77)seja O o centro de uma circunferência e A um ponto no interior do círculo distinto de O.Determine todos os pontos P na circunferência do círculo tais que o ângulo OPA E máximo.
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Auto Excluído (ID:12031)
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Mai 2019
29
01:25
Re: pontos P na circunferência
Seja [tex3]K[/tex3]
um ponto aleatório da circunferência.
Olhe para o triângulo [tex3]\Delta OKA[/tex3] ele tem dois lados de tamanho fixo: [tex3]OK = R[/tex3] e [tex3]OA[/tex3] .
Essa questão é equivalente à seguinte: dados dois lados [tex3]a,b[/tex3] de um triângulo, encontrar aquele com maior ângulo oposto ao lado [tex3]b[/tex3] .
Seja [tex3]x[/tex3] .o ângulo entre os lados [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] e [tex3]y[/tex3] o ângulo oposto ao lado [tex3]b[/tex3] . Então:
[tex3]c^2 = a^2 +b^2 - 2ab \cos x[/tex3]
e da lei dos senos
[tex3]\frac c{\sen x} = \frac b{\sen y}[/tex3]
temos [tex3]\sen y = \frac bc \sen x = b \cdot \frac{\sen x}{\sqrt{a^2 +b^2 - 2ab \cos x}}[/tex3]
e podemos encontrar o máximo derivando e igualando a zero. Dá um pouco de conta, mas é fazível.
O jeito esperto: prolongue a retas [tex3]KO[/tex3] e [tex3]KA[/tex3] e deixe elas encontrarem a circunferência em [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y[/tex3] , respectivamente. Sendo [tex3]z =\angle OKA[/tex3] da lei dos senos: [tex3]\frac{XY}{\sen z} = 2R[/tex3] queremos a maior corda [tex3]XY[/tex3] possível. Vou mostrar que o maior valor dela é [tex3]2 \cdot OA[/tex3] que ocorre quando [tex3]K[/tex3] está na perpendicular à reta [tex3]OA[/tex3] passando por [tex3]A[/tex3] .
Primeiro quando [tex3]K[/tex3] está na perpendicular a [tex3]OA[/tex3] temos que [tex3]\angle KYX = 90 = \angle KAO[/tex3] então [tex3]\Delta KAO \sim \Delta KYX[/tex3] como [tex3]AO[/tex3] é mediatriz de [tex3]KY[/tex3] então [tex3]KA = AY[/tex3] e então [tex3]XY = 2OA[/tex3] .
Suponha agora que [tex3]XY > 2OA[/tex3] . Como [tex3]KX[/tex3] é diâmetro então [tex3]\angle KYX = 90[/tex3] .
Tracemos uma reta [tex3]n[/tex3] paralela à [tex3]XY[/tex3] por [tex3]O[/tex3] e seja [tex3]Z = n \cap KY[/tex3] então [tex3]ZO[/tex3] é base média de [tex3]XY[/tex3] logo [tex3]ZO = \frac{XY}2 > AC[/tex3] mas o triângulo [tex3]\Delta ZOA[/tex3] é retângulo de cateto [tex3]\frac{XY}2[/tex3] maior que a hipotenusa [tex3]OA[/tex3] . Absurdo. Logo a corda [tex3]XY[/tex3] tem valor máximo [tex3]2 \cdot OA[/tex3] e ocorre quando [tex3]P[/tex3] é o encontro da perpedicular a [tex3]OA[/tex3] pelo ponto [tex3]A[/tex3] com a circunferência.
Olhe para o triângulo [tex3]\Delta OKA[/tex3] ele tem dois lados de tamanho fixo: [tex3]OK = R[/tex3] e [tex3]OA[/tex3] .
Essa questão é equivalente à seguinte: dados dois lados [tex3]a,b[/tex3] de um triângulo, encontrar aquele com maior ângulo oposto ao lado [tex3]b[/tex3] .
Seja [tex3]x[/tex3] .o ângulo entre os lados [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] e [tex3]y[/tex3] o ângulo oposto ao lado [tex3]b[/tex3] . Então:
[tex3]c^2 = a^2 +b^2 - 2ab \cos x[/tex3]
e da lei dos senos
[tex3]\frac c{\sen x} = \frac b{\sen y}[/tex3]
temos [tex3]\sen y = \frac bc \sen x = b \cdot \frac{\sen x}{\sqrt{a^2 +b^2 - 2ab \cos x}}[/tex3]
e podemos encontrar o máximo derivando e igualando a zero. Dá um pouco de conta, mas é fazível.
O jeito esperto: prolongue a retas [tex3]KO[/tex3] e [tex3]KA[/tex3] e deixe elas encontrarem a circunferência em [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y[/tex3] , respectivamente. Sendo [tex3]z =\angle OKA[/tex3] da lei dos senos: [tex3]\frac{XY}{\sen z} = 2R[/tex3] queremos a maior corda [tex3]XY[/tex3] possível. Vou mostrar que o maior valor dela é [tex3]2 \cdot OA[/tex3] que ocorre quando [tex3]K[/tex3] está na perpendicular à reta [tex3]OA[/tex3] passando por [tex3]A[/tex3] .
Primeiro quando [tex3]K[/tex3] está na perpendicular a [tex3]OA[/tex3] temos que [tex3]\angle KYX = 90 = \angle KAO[/tex3] então [tex3]\Delta KAO \sim \Delta KYX[/tex3] como [tex3]AO[/tex3] é mediatriz de [tex3]KY[/tex3] então [tex3]KA = AY[/tex3] e então [tex3]XY = 2OA[/tex3] .
Suponha agora que [tex3]XY > 2OA[/tex3] . Como [tex3]KX[/tex3] é diâmetro então [tex3]\angle KYX = 90[/tex3] .
Tracemos uma reta [tex3]n[/tex3] paralela à [tex3]XY[/tex3] por [tex3]O[/tex3] e seja [tex3]Z = n \cap KY[/tex3] então [tex3]ZO[/tex3] é base média de [tex3]XY[/tex3] logo [tex3]ZO = \frac{XY}2 > AC[/tex3] mas o triângulo [tex3]\Delta ZOA[/tex3] é retângulo de cateto [tex3]\frac{XY}2[/tex3] maior que a hipotenusa [tex3]OA[/tex3] . Absurdo. Logo a corda [tex3]XY[/tex3] tem valor máximo [tex3]2 \cdot OA[/tex3] e ocorre quando [tex3]P[/tex3] é o encontro da perpedicular a [tex3]OA[/tex3] pelo ponto [tex3]A[/tex3] com a circunferência.
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Fev 2022
13
22:51
Re: pontos P na circunferência
....................................
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