Ensino Superior

Mensagem não lidapor **LucasPinafi** » 25 Dez 2014, 21:15

Boa noite.
Esse post não é sobre uma questão, mas sim sobre uma dúvida conceitual. Estou estudando equações diferenciais de segunda ordem, não homogêneas, com coeficientes constantes.
Esse trecho é retirado do livro "Um curso de Cálculo" do Guidorizzi:

"A solução geral de $\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}+ b \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+cx=f(t)$ é $x=x_h+x_p$ , onde $x_h$ é a solução geral da homogênea associada e $x_p$ é uma solução geral da equação dada."

Bem, eu sei que $x_h$ é a solução da equação $\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}+b\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+cx=0$ .
A minha dúvida é: a solução particular da equação dada é única? Ou haveria várias soluções particulares possíveis?
Agradeço a quem puder ajudar ((: Tenham um feliz Natal.

Mensagem não lidapor **Vinisth** » 25 Dez 2014, 21:42 · Mensagem não lida por **Vinisth** » 25 Dez 2014, 21:42

Você encontra uma equação geral (famílias de curvas) para o problema e se o problema lhe der uma condição inicial, então você determina essa equação e ela é única.

Por exemplo: $y''+y=0$
Tem solução para toda função da forma $y=C \sin t$ , desde então sem condições iniciais o problema tem infinitas soluções, porém da forma $y=C \sin t$ .

Feliz Natal !

Mensagem não lidapor **LucasPinafi** » 25 Dez 2014, 22:09

Obrigado vinisth. Mas ainda estou meio confuso. Olha, para exemplificar melhor a minha dúvida, vou colocar um exemplo do próprio livro.
"Determine a solução geral de $\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}+3\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+2x=t$ ".
Ele começa calculando a solução geral da homogênea associada:
$x_h=Ae^{-2t}+Be^{-t}$ , onde A e B são constantes.
Para a solução particular, ele sugere uma função do tipo $x_p=m+nt$ :
$(m+nt)''+3(m+nt)'+2(m+nt)=t \Longleftrightarrow 3n+2m+2nt=t$
Temos então o sistema:
$\begin{cases} 3n+2m=0 \\ 2n=1 \end{cases}$
encontrando $n=\frac{1}{2}$ e $m=-\frac{3}{4}$
Logo, a solução geral da equação dada é $x=Ae^{-2t}+Be^{-t}+\frac{1}{2}t- \frac{3}{4}$
A minha dúvida é: Haveria alguma outra função que eu pudesse colocar no lugar de $x_p=m+nt$ para calcular uma solução particular da equação, ou esta é única? Realmente não estou entendendo.

A resposta é: não
Estamos tratando de uma equação linear, então as suas soluções formam um espaço vetorial bem determinado. Algumas equações diferenciais de outro tipo podem sim ter várias respostas particulares, mas essa resposta:

$x=Ae^{-2t}+Be^{-t}+\frac{1}{2}t- \frac{3}{4}$

contém todas as soluções dessa equação.
Mas como ele chegou nessa particular ? $x =mt+n$ ?
Existem métodos pra se avaliar a solução particular de algumas EDOs.
O método infalível para EDO's lineares é o método da variação de parâmetro
que consiste em supor a solução particular como sendo uma "combinação linear" das soluções homogêneas.

http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9tod ... 3%A2metros

Mensagem não lidapor **LucasPinafi** » 26 Dez 2014, 14:10

Muito obrigado pela ajuda.
No livro ele não explicou como achar a função $m+nt$ . Ele apenas deu uma tabela com funções que podemos usar para alguns tipo de equação.
Mais uma vez, obrigado pela ajuda. =D

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