Como resolvo? Me deem pelo menos dicas de qual melhor método, estou com muitas dificuldades nestes tipos de equações.
a) [tex3]y'' x - y = 0[/tex3]
b) [tex3]2 y' \cos x = 2 \cos 2x - \sen2x + y^{2}[/tex3]
c) [tex3](1 - x^{2}) y'' - x y' + 4 y = 0[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Equações diferenciais ordinárias Tópico resolvido
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Cardoso1979
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Ago 2022
29
19:43
Re: Equações diferenciais ordinárias
Observe
Podemos ver que x = 0 é um ponto singular regular da equação já que zera o primeiro termo. Podemos mostrar isso através dos limites quando x → 0 . Temos,
P( x ) = x ; Q( x ) = 0 e R( x ) = - 1.
Então,
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{xQ(x)}{P(x)}[/tex3] = 0
e
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{x^2R(x)}{P(x)} =
\lim_{x \rightarrow \ 0} -\frac{ x^2 }{ x }[/tex3] = 0.
Como os dois limites são finitos em x = 0, então x = 0 é um ponto singular.
Para encontrarmos a equação indicial, vamos precisar substituir a solução.
y = [tex3]\sum_{n=0}^{∞}a_n.x^{ r + n }[/tex3] .
E da sua segunda derivada, já que não temos o termo com y' na EDO:
y' = [tex3]\sum_{n=0}^{∞}a_n.( r + n ).x^{ r + n - 1 }[/tex3] ;
y'' = [tex3]\sum_{n=0}^{∞}a_n.( r + n ).( r + n - 1 ).x^{ r + n - 2 }[/tex3] .
Na equação diferencial:
[tex3]\sum_{n=0}^{∞}a_n.( r + n ).( r + n - 1 ).x^{ r + n - 1 } - \sum_{n=0}^{∞}a_n.x^{ r + n } = 0[/tex3] .
Multiplicamos tudo por x :
[tex3]\sum_{n=0}^{∞}a_n.( r + n ).( r + n - 1 ).x^{ r + n } - \sum_{n=0}^{∞}a_n.x^{ r + n + 1 } = 0[/tex3] .
E andamos com o índice uma vez na segunda série,
[tex3]\sum_{n=0}^{∞}a_n.( r + n ).( r + n - 1 ).x^{ r + n } - \sum_{n=1}^{∞}a_{n-1}.x^{ r + n } = 0[/tex3] .
E fazemos o mesmo com a primeira para podermos colocar tudo dentro de uma série só, isso fará com que o primeiro termo da série fique para fora da soma.
[tex3]a_0.r.( r - 1 ).x^{ r } + \sum_{n=1}^{∞}[-a_{n-1} + a_n.( r + n ).( r + n - 1 ) ] .x^{ r + n } = 0[/tex3] .
Já que a equação deve ser satisfeita para todo x ,então os coeficientes de cada termo são zero. Assim , temos a equação indicial:
r.( r - 1 ) = 0
Onde as raízes são r [tex3]_{1}[/tex3] = 0 e r [tex3]_{2}[/tex3] = 1.
E a relação de recorrência fica :
[tex3]-a_{n-1} + a_n.( r + n ).( r + n - 1 ) = 0[/tex3]
[tex3]a_{n} = \frac{a_{n-1}}{( r + n ).( r + n - 1 ) }[/tex3] .
Como as raízes diferem por um inteiro, precisamos apenas encontrar a solução para a maior raiz r [tex3]_{2}[/tex3] = 1.
Substituindo ela na relação de recorrência, vem;
[tex3]a_{n} = \frac{a_{n-1}}{( 1 + n ).n }[/tex3] .
E agora escrevemos alguns coeficientes para termos uma ideia da cara do termo geral.
[tex3]a_{1} = \frac{a_0}{(2).1}[/tex3] ;
[tex3]a_{2} = \frac{a_1}{(3).2}[/tex3] ;
[tex3]a_{3} = \frac{a_2}{(4).3}[/tex3]
.
.
.
Substituindo um no outro:
[tex3]a_{3} = \frac{a_1}{(4).3.(3).2} = \frac{a_0}{(4).3.(3).2.(2).1}[/tex3]
Perceba que temos produtos do tipo fatorial no denominador, sendo que nos termos entre parênteses o fatorial está uma unidade avançada em relação aos termos de fora , assim;
[tex3]a_{n} = \frac{a_0}{ n!( n + 1 )!}[/tex3] .
E a nossa solução fica:
y = [tex3]\sum_{n=0}^{∞}\frac{a_0}{ n!( n + 1 )!}.x^{ n + 1 }[/tex3]
Ou
y( x ) = x.[tex3]\sum_{n=0}^{∞}\frac{a_0}{ n!( n + 1 )!}.x^{ n }[/tex3] .
Nota
Talvez, ou pelo método de Legendre ou pelo método de Bessel saia , eu não tentei. Ficará como exercício para o leitor!
Excelente estudo!
Uma solução ( Método de Frobenius):
Podemos ver que x = 0 é um ponto singular regular da equação já que zera o primeiro termo. Podemos mostrar isso através dos limites quando x → 0 . Temos,
P( x ) = x ; Q( x ) = 0 e R( x ) = - 1.
Então,
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{xQ(x)}{P(x)}[/tex3] = 0
e
[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}\frac{x^2R(x)}{P(x)} =
\lim_{x \rightarrow \ 0} -\frac{ x^2 }{ x }[/tex3] = 0.
Como os dois limites são finitos em x = 0, então x = 0 é um ponto singular.
Para encontrarmos a equação indicial, vamos precisar substituir a solução.
y = [tex3]\sum_{n=0}^{∞}a_n.x^{ r + n }[/tex3] .
E da sua segunda derivada, já que não temos o termo com y' na EDO:
y' = [tex3]\sum_{n=0}^{∞}a_n.( r + n ).x^{ r + n - 1 }[/tex3] ;
y'' = [tex3]\sum_{n=0}^{∞}a_n.( r + n ).( r + n - 1 ).x^{ r + n - 2 }[/tex3] .
Na equação diferencial:
[tex3]\sum_{n=0}^{∞}a_n.( r + n ).( r + n - 1 ).x^{ r + n - 1 } - \sum_{n=0}^{∞}a_n.x^{ r + n } = 0[/tex3] .
Multiplicamos tudo por x :
[tex3]\sum_{n=0}^{∞}a_n.( r + n ).( r + n - 1 ).x^{ r + n } - \sum_{n=0}^{∞}a_n.x^{ r + n + 1 } = 0[/tex3] .
E andamos com o índice uma vez na segunda série,
[tex3]\sum_{n=0}^{∞}a_n.( r + n ).( r + n - 1 ).x^{ r + n } - \sum_{n=1}^{∞}a_{n-1}.x^{ r + n } = 0[/tex3] .
E fazemos o mesmo com a primeira para podermos colocar tudo dentro de uma série só, isso fará com que o primeiro termo da série fique para fora da soma.
[tex3]a_0.r.( r - 1 ).x^{ r } + \sum_{n=1}^{∞}[-a_{n-1} + a_n.( r + n ).( r + n - 1 ) ] .x^{ r + n } = 0[/tex3] .
Já que a equação deve ser satisfeita para todo x ,então os coeficientes de cada termo são zero. Assim , temos a equação indicial:
r.( r - 1 ) = 0
Onde as raízes são r [tex3]_{1}[/tex3] = 0 e r [tex3]_{2}[/tex3] = 1.
E a relação de recorrência fica :
[tex3]-a_{n-1} + a_n.( r + n ).( r + n - 1 ) = 0[/tex3]
[tex3]a_{n} = \frac{a_{n-1}}{( r + n ).( r + n - 1 ) }[/tex3] .
Como as raízes diferem por um inteiro, precisamos apenas encontrar a solução para a maior raiz r [tex3]_{2}[/tex3] = 1.
Substituindo ela na relação de recorrência, vem;
[tex3]a_{n} = \frac{a_{n-1}}{( 1 + n ).n }[/tex3] .
E agora escrevemos alguns coeficientes para termos uma ideia da cara do termo geral.
[tex3]a_{1} = \frac{a_0}{(2).1}[/tex3] ;
[tex3]a_{2} = \frac{a_1}{(3).2}[/tex3] ;
[tex3]a_{3} = \frac{a_2}{(4).3}[/tex3]
.
.
.
Substituindo um no outro:
[tex3]a_{3} = \frac{a_1}{(4).3.(3).2} = \frac{a_0}{(4).3.(3).2.(2).1}[/tex3]
Perceba que temos produtos do tipo fatorial no denominador, sendo que nos termos entre parênteses o fatorial está uma unidade avançada em relação aos termos de fora , assim;
[tex3]a_{n} = \frac{a_0}{ n!( n + 1 )!}[/tex3] .
E a nossa solução fica:
y = [tex3]\sum_{n=0}^{∞}\frac{a_0}{ n!( n + 1 )!}.x^{ n + 1 }[/tex3]
Ou
y( x ) = x.[tex3]\sum_{n=0}^{∞}\frac{a_0}{ n!( n + 1 )!}.x^{ n }[/tex3] .
Nota
Talvez, ou pelo método de Legendre ou pelo método de Bessel saia , eu não tentei. Ficará como exercício para o leitor!
Excelente estudo!
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