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Mensagem não lidapor **candre** » 14 Ago 2014, 15:48 · Mensagem não lida por **candre** » 14 Ago 2014, 15:48

Como eu faço uma substituição de variaveis numa equação diferencial, supondo por exemplo que eu tenha a equação diferencial $x^2\frac{d^2y}{d x^2}+y=0$ e queira fazer a substituição $x=e^t$ , como eu procederia

RafaeldeLima

Nem todas as equações diferenciais ordinárias podem ser resolvidas com substituição.

Uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem é uma equação que pode ser escrita na forma:

$\boxed{y'' + P(x).y' + Q(x).y = R(x)}$

Quando $R(x) = 0$ , a E.D.O. é dita homogênea.

Dentro dessa classe de equações, temos a equação de Euler - Cauchy, que são as E.D.O.'s na forma:

$\boxed{a_{n}x^ny^{(n)} + a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)} + ... + a_{1}xy^{(2)} + a_{0}y = g(x)}$

Aqui, $y^{(n)$ representa a derivada n-ésima de $y(x)$ , ou seja, $\frac{d^ny}{dx^n}$

A solução desse tipo de equação é uma função Real da forma:

$\boxed{y(x) = x^r}$

No nosso caso, vemos que se trata de uma E.D.O. de Euler-Cauchy:

$x^2y'' + y = 0$

Cuja solução é:

$y(x) = x^r$

Logo, substituindo na equação:

$x^2.r.(r-1).x^{r-2} + x^r = 0 \\ \\ x^r.r.(r-1) + x^r = 0 \\ \\ x^r(r^2-r+1) = 0$

$r^2-r+1 = 0$

$r = \frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$

Logo, temos duas soluções possíveis :

$\begin{cases}y_{1'}(x) = x^{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}} \\ \\ y_{2'}(x) = x^{\frac{1-\sqrt{3}i}{2}} \end{cases}$

Reescrevendo:

$\begin{cases}y_{1'}(x) = x^{\frac{1}{2}}.x^{\frac{\sqrt{3}i}{2}} \\ \\ y_{2'}(x) = x^{\frac{1}{2}}.x^{\frac{-\sqrt{3}i}{2}} \end{cases}$

Porém essa não é uma função real, uma vez que o expoente de x é um número complexo. Aqui vem o detalhe. Iremos utilizar essas funções complexas encontradas para gerar funções reais que continuam sendo solução da EDO, utilizando o Princípio da Superposição.

Teorema (Princípio da Superposição)

Considere a Equação Diferencial Ordinária Linear Homogênea de Segunda Ordem:

$y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \boxed{1}$

Se $y_1(x) \ \ \ e \ \ \ y_2(x)$ são soluções de $\boxed{1}$ , então para quaisquer constantes reais $C_1 \ \ e \ \ C_2,$

$y = C_1.y_1(x) + C_2. y_2(x)$

também é solução de $\boxed{1}$ .

Voltando ao nosso caso, vamos reescrever as soluções encontradas:

$\begin{cases}y_{1'}(x) = x^{\frac{1}{2}}.x^{\frac{\sqrt{3}i}{2}} \\ \\ y_{2'}(x) = x^{\frac{1}{2}}.x^{\frac{-\sqrt{3}i}{2}} \end{cases}$

Considerando que

$x = e^{lnx}$

Temos:

$x^{\frac{\sqrt{3}i}{2}} = (e^{lnx})^{\frac{\sqrt{3}i}{2}} \\ \\ x^{\frac{-\sqrt{3}i}{2}} = (e^{lnx})^{\frac{-\sqrt{3}i}{2}$

$\begin{cases}y_{1'}(x) = x^{\frac{1}{2}}.e^{\frac{\sqrt{3}i.lnx}{2}} \\ \\ y_{2'}(x) = x^{\frac{1}{2}}.e^{\frac{-\sqrt{3}i.lnx}{2}} \end{cases}$

Utilizando a identidade de Euler:

$e^{i\theta} = cos\theta + i.sen\theta$

Temos:

$\begin{cases}y_{1'}(x) = x^{\frac{1}{2}}.[cos(\frac{\sqrt{3}.lnx}{2}) + isen(\frac{\sqrt{3}.lnx}{2})]\\ \\ y_{2'}(x) = x^{\frac{1}{2}}.[cos(\frac{\sqrt{3}.lnx}{2}) - isen(\frac{\sqrt{3}.lnx}{2})] \end{cases}$

Utilizando o Princípio da Superposição, se $y_{1'}(x) \ \ e \ \ y_{2'}(x)$ são soluções, então:

$y_{1}(x) = \frac{y_{1'}(x)+y_{2'}(x)}{2} \\ \\ \\ y_{2}(x) = \frac{y_{1'}(x)-y_{2'}(x)}{2i}$

Também são soluções. Logo:

$y_{1}(x) = x^{\frac{1}{2}}.cos\left(\frac{\sqrt{3}.lnx}{2}\right)$

$y_{2}(x) = x^{\frac{1}{2}}.sen\left(\frac{\sqrt{3}.lnx}{2}\right)$

Sendo assim, a solução geral da edo é:

$y(x) = C_1.y_{1}(x) + C_2.y_{2}(x)$

$y(x) = C_1.x^{\frac{1}{2}}.cos\left(\frac{\sqrt{3}.lnx}{2}\right) + C_2.x^{\frac{1}{2}}.sen\left(\frac{\sqrt{3}.lnx}{2}\right)$

Ou seja:

$\boxed{y(x) = \sqrt{x}\left[C_1.cos\left(\frac{\sqrt{3}.lnx}{2}\right) + C_2.sen\left(\frac{\sqrt{3}.lnx}{2}\right)\right]}$

RafaeldeLima

Princípio da Superposição

Considere a Equação Diferencial Ordinária Linear Homogênea de Segunda Ordem:

$y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \boxed{1}$

Se $y_1(x) \ \ \ e \ \ \ y_2(x)$ são soluções de $\boxed{1}$ , então para quaisquer constantes reais $C_1 \ \ e \ \ C_2$ ,

$y(x) = C_1.y_1(x) + C_2. y_2(x)$

também é solução de $\boxed{1}$ .

Prova

O fato de que $y_1 \ \ e \ \ y_2$ são soluções implica:

$y_1'' + P(x)y_1' + Q(x)y_1 = 0 \ \ \ \ \ \ \ \boxed{i}\\ \\ y_2'' + P(x)y_2' + Q(x)y_2 = 0 \ \ \ \ \ \ \ \boxed{ii}$

Como $C_1 \ \ e \ \ C_2$ são constantes, podemos derivar uma e duas vezes $y(x)$ , temos:

$y'(x) = C_1.y_1'(x) + C_2.y_2'(x) \\ \\ e \\ \\ y''(x) = C_1.y_1''(x) + C_2.y_2''(x)$

Substituindo na EDO temos:

$y'' + P(x)y' + Q(x)y = C_1.y_1''(x) + C_2.y_2''(x) + P(x).(C_1.y_1'(x) + C_2.y_2'(x)) + Q(x)(C_1.y_1(x) + C_2. y_2(x))$

Reagrupando:

$y'' + P(x)y' + Q(x)y = C_1.[y_1''(x) + P(x)y_1'(x) + Q(x)y_1(x)] + \\ \\ C_2.[y_2''(x) + P(x)y_2'(x) + Q(x)y_2(x)]$

Como sabemos de $\boxed{i} \ \ e \ \ \boxed{ii}$ , temos:

$y'' + P(x)y' + Q(x)y = C_1.[0] + C_2.[0]$

Logo:

$\boxed{y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0} \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ y$ é solução.

O que implica que:

Se $y_1(x) \ \ e \ \ y_2(x)$ são soluções, então:

$y(x) = C_1.y_1(x) + C_2.y_2(x)$

também é solução.

$C.Q.D.$

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