Determine o número de raízess reais da equação:
[tex3]x^{1994}-x^2+1=0[/tex3]
Olimpíadas ⇒ (Bulgária) Equação polinomial Tópico resolvido
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Babi123
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jvmago
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Jun 2018
29
20:38
Re: (Bulgária) Equação polinomial
Não sei se fica carteado fazer ela por gráfico mas vamos lá:
façamos inicialmente o esboço de [tex3]f(x)=-x^2+1[/tex3] fica claro que esta é uma parábola com máximo [tex3]1[/tex3] e raízes [tex3]+-1[/tex3] .
Acrescentando [tex3]x^3[/tex3] teremos [tex3]f(x)=x^3-x^2+1[/tex3] cuja raíz é [tex3]-1[/tex3] e passa pelo ponto [tex3](0,1)[/tex3]
Acrescentando [tex3]x^4[/tex3] teremos [tex3]f(x)=x^4-x^2+1[/tex3] cujas raízes são complexas.
Se acrescentar-mos [tex3]x^5[/tex3] [tex3]f(x)=x^5-x^2+1[/tex3] teremos raíz [tex3]-1[/tex3] e novamente vai passar pelo ponto [tex3](0,1)[/tex3] .
Fica evidente que função nunca assumirá uma raíz se o expoente maior ali for uma número par. Dá até para provar por cálculo que isso mas eu acho que é trapacear na questão e no caso, apareceriam os limites [tex3]1[/tex3] e [tex3]-1[/tex3] .
Então não há raízes reais.
façamos inicialmente o esboço de [tex3]f(x)=-x^2+1[/tex3] fica claro que esta é uma parábola com máximo [tex3]1[/tex3] e raízes [tex3]+-1[/tex3] .
Acrescentando [tex3]x^3[/tex3] teremos [tex3]f(x)=x^3-x^2+1[/tex3] cuja raíz é [tex3]-1[/tex3] e passa pelo ponto [tex3](0,1)[/tex3]
Acrescentando [tex3]x^4[/tex3] teremos [tex3]f(x)=x^4-x^2+1[/tex3] cujas raízes são complexas.
Se acrescentar-mos [tex3]x^5[/tex3] [tex3]f(x)=x^5-x^2+1[/tex3] teremos raíz [tex3]-1[/tex3] e novamente vai passar pelo ponto [tex3](0,1)[/tex3] .
Fica evidente que função nunca assumirá uma raíz se o expoente maior ali for uma número par. Dá até para provar por cálculo que isso mas eu acho que é trapacear na questão e no caso, apareceriam os limites [tex3]1[/tex3] e [tex3]-1[/tex3] .
Então não há raízes reais.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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jvmago
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Jun 2018
29
20:40
Re: (Bulgária) Equação polinomial
Se algum amigo do fórum souber alguma fatoração transeunte compartilha ai pf, estou bem curioso.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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Ittalo25
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Jun 2018
29
21:50
Re: (Bulgária) Equação polinomial
[tex3]x^{1994}-x^2+1=0[/tex3]
[tex3]x^2 \cdot ( x^{1992}-1)+1=0[/tex3]
[tex3]x^2 \cdot ( x^{664}-1)\cdot (x^{1328}+x^{664}+1)+1=0[/tex3]
Agora, como x é real, então: [tex3]x^{1328}+x^{664}+1>0[/tex3]
Então é preciso ter: [tex3]x^{664}-1<0[/tex3] , em particular [tex3]x^2<1[/tex3] , ou seja: [tex3]-1<x<1[/tex3]
Sendo assim, se existir uma raiz real ela está nesse intervalo. Fazendo: [tex3]x = cos(\theta) \neq \pm1[/tex3] , com [tex3]0 <\theta < 2\pi [/tex3]
[tex3]x^{1994}-x^2+1=0[/tex3]
[tex3]cos(\theta)^{1994}-cos(\theta)^2+1=0[/tex3]
[tex3]cos(\theta)^{1994}+sen(\theta)^2=0[/tex3]
Soma de quadrados dando zero, então:
[tex3]\begin{cases}
cos(\theta)^{1994}=0 \\
sen(\theta)^2=0
\end{cases}[/tex3]
Obviamente sem solução real.
[tex3]x^2 \cdot ( x^{1992}-1)+1=0[/tex3]
[tex3]x^2 \cdot ( x^{664}-1)\cdot (x^{1328}+x^{664}+1)+1=0[/tex3]
Agora, como x é real, então: [tex3]x^{1328}+x^{664}+1>0[/tex3]
Então é preciso ter: [tex3]x^{664}-1<0[/tex3] , em particular [tex3]x^2<1[/tex3] , ou seja: [tex3]-1<x<1[/tex3]
Sendo assim, se existir uma raiz real ela está nesse intervalo. Fazendo: [tex3]x = cos(\theta) \neq \pm1[/tex3] , com [tex3]0 <\theta < 2\pi [/tex3]
[tex3]x^{1994}-x^2+1=0[/tex3]
[tex3]cos(\theta)^{1994}-cos(\theta)^2+1=0[/tex3]
[tex3]cos(\theta)^{1994}+sen(\theta)^2=0[/tex3]
Soma de quadrados dando zero, então:
[tex3]\begin{cases}
cos(\theta)^{1994}=0 \\
sen(\theta)^2=0
\end{cases}[/tex3]
Obviamente sem solução real.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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