IME / ITA ⇒ ITA - Fatorial Tópico resolvido

[Jhonatan]

Seja [tex3]A = \left\{\frac{(-1)^n}{n!} + \sen \(\frac{n!π}{6}\); \,n \in N\right\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = \left\{\frac{(-1)^n}{n!} + \sen \(\frac{n!π}{6}\); \,n \in N\right\}[/tex3]

, qual conjunto a seguir é tal que sua intersecção com [tex3]A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A[/tex3]

dá o próprio [tex3]A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A[/tex3]

?

a) (-∞, -2) U [2, ∞)
b) (-∞, -2]
c) [-2, 2]
d) [-2, 0]
e) [0, 2]

Resposta

---

R: c)

Amigos, poderiam me explicar essa questão "cascuda", por favor ?
Obrigado.

[ALANSILVA]

Alguém sabe???

[Planck]

Alguém sabe???

Um jeito é ir testando valores de [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

:

Para [tex3]n=0:[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=0:[/tex3]

[tex3]A = \frac{(-1)^0}{0!} + \sen \left({\frac{0!π}{6}} \right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = \frac{(-1)^0}{0!} + \sen \left({\frac{0!π}{6}} \right)[/tex3]

[tex3]A=1+\frac{1}{2} \rightarrow \frac{3}{2} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=1+\frac{1}{2} \rightarrow \frac{3}{2} [/tex3]

Para [tex3]n=1:[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=1:[/tex3]

[tex3]A = \frac{(-1)^1}{1!} + \sen \left({\frac{1!π}{6}} \right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = \frac{(-1)^1}{1!} + \sen \left({\frac{1!π}{6}} \right)[/tex3]

[tex3]A=-1+\frac{1}{2} \rightarrow -\frac{1}{2} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=-1+\frac{1}{2} \rightarrow -\frac{1}{2} [/tex3]

Para [tex3]n=2:[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=2:[/tex3]

[tex3]A = \frac{(-1)^2}{2!} + \sen \left({\frac{2!π}{6}} \right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = \frac{(-1)^2}{2!} + \sen \left({\frac{2!π}{6}} \right)[/tex3]

[tex3]A=1+\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=1+\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Para [tex3]n=3:[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=3:[/tex3]

[tex3]A = \frac{(-1)^3}{3!} + \sen \left({\frac{3!π}{6}} \right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = \frac{(-1)^3}{3!} + \sen \left({\frac{3!π}{6}} \right)[/tex3]

[tex3]A=-\frac{1}{6}+0 \rightarrow -\frac{1}{6} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=-\frac{1}{6}+0 \rightarrow -\frac{1}{6} [/tex3]

Além disso, para [tex3]n=3:[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=3:[/tex3]

[tex3]\sen \left({\frac{3!π}{6}} \right)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen \left({\frac{3!π}{6}} \right)=0[/tex3]

Para [tex3]n>3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n>3[/tex3]

, os valores vão ficando cada vez menores. O conjunto [tex3]A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A[/tex3]

pode ser:

[tex3]A=[-\frac{1}{2},0] \cup[0, \frac{3}{2}][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=[-\frac{1}{2},0] \cup[0, \frac{3}{2}][/tex3]

Para que a interseção seja o próprio A, o conjunto deve conter todo A. Logo:

[tex3]A=[-2,2][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=[-2,2][/tex3]

[Ittalo25]

Basta apenas observar:

[tex3]\begin{cases}
-1 \leq \sen \(\frac{n!π}{6}\) \leq 1 \\
-1 \leq \frac{(-1)^n}{n!} \leq 1
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
-1 \leq \sen \(\frac{n!π}{6}\) \leq 1 \\
-1 \leq \frac{(-1)^n}{n!} \leq 1
\end{cases}[/tex3]

[ALANSILVA]

Para [tex3]n>3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n>3[/tex3]

, os valores vão ficando cada vez menores. O conjunto [tex3]A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A[/tex3]

pode ser:

[tex3]A=[-\frac{1}{2},0] \cup[0, \frac{3}{2}][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=[-\frac{1}{2},0] \cup[0, \frac{3}{2}][/tex3]

Para que a interseção seja o próprio A, o conjunto deve conter todo A. Logo:

[tex3]A=[-2,2][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=[-2,2][/tex3]

Não entendi porque o zero faz parte do intervalo de [tex3]A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A[/tex3]

[tex3]A=[-\frac{1}{2},0] \cup[0, \frac{3}{2}][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=[-\frac{1}{2},0] \cup[0, \frac{3}{2}][/tex3]

[Planck]

Não entendi porque o zero faz parte do intervalo de [tex3]A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A[/tex3]

[tex3]A=[-\frac{1}{2},0] \cup[0, \frac{3}{2}][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=[-\frac{1}{2},0] \cup[0, \frac{3}{2}][/tex3]

[tex3]\sen \left({\frac{3!π}{6}} \right)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen \left({\frac{3!π}{6}} \right)=0[/tex3]

Quando [tex3]n=3.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=3.[/tex3]

[ALANSILVA]

Planck, Observe que [tex3]A=\frac{-1^n}{n!}+sen\left(\frac{n!\pi }{6}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\frac{-1^n}{n!}+sen\left(\frac{n!\pi }{6}\right)[/tex3]

, mesmo [tex3]sen\left(\frac{n!\pi }{6}=0\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen\left(\frac{n!\pi }{6}=0\right)[/tex3]

, [tex3]A=-\frac{1}{6}\neq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=-\frac{1}{6}\neq 0[/tex3]

para [tex3]n=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=3[/tex3]

Onde estou errando?

[Planck]

Planck, Observe que [tex3]A=\frac{-1^n}{n!}+sen\left(\frac{n!\pi }{6}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\frac{-1^n}{n!}+sen\left(\frac{n!\pi }{6}\right)[/tex3]

, mesmo [tex3]sen\left(\frac{n!\pi }{6}=0\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen\left(\frac{n!\pi }{6}=0\right)[/tex3]

, [tex3]A=-\frac{1}{6}\neq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=-\frac{1}{6}\neq 0[/tex3]

para [tex3]n=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=3[/tex3]

Onde estou errando?

Na verdade, eu que cometi um equívoco. Note que é suficiente fazer:

[tex3]A= \left [-\frac{1}{2},\frac{3}{2} \right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A= \left [-\frac{1}{2},\frac{3}{2} \right][/tex3]

[ALANSILVA]

Planck, Agora sim entrou na minha caixola

[Planck]

Planck, Agora sim entrou na minha caixola

Particularmente, acredito que a resolução do Ittalo25 é mais viável em um contexto de prova.