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Mensagempor **ALDRIN** » 26 Mai 2017, 10:20 · Mensagem por **ALDRIN** » 26 Mai 2017, 10:20

Seja [tex3]P(x)=x^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g[/tex3] um polinômio de coeficientes inteiros e que [tex3]P(\sqrt2+ \sqrt[3]{3})=0[/tex3] . O polinômio [tex3]R(x)[/tex3] é o resto da divisão de [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3]x^3-3x-1[/tex3] . Determine a soma dos coeficientes de [tex3]R(x)[/tex3] e assinale a opção correta.

(A) [tex3]-51[/tex3] .
(B) [tex3]-52[/tex3] .
(C) [tex3]-53[/tex3] .
(D) [tex3]-54[/tex3] .
(E) [tex3]-55[/tex3] .

Resposta:

E

Mensagempor **jvmago** » 05 Fev 2018, 16:50 · Mensagem por **jvmago** » 05 Fev 2018, 16:50

Essa questão necessita do famoso "Pulo do Gato".
Faça [tex3]x=\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}[/tex3]

[tex3]x-\sqrt{2}=\sqrt[3]{3}[/tex3]

Elevando ao cubo teremos:

[tex3]x^3-3x^2\sqrt{2}+6x-2\sqrt{2}=3[/tex3]

Isole os termos com [tex3]\sqrt{2}[/tex3] e eleve ao quadrado

[tex3](x^3+6x-3)^2=(\sqrt{2})^2(3x^2+2)^2[/tex3] resultando em

[tex3]x^6+36x^2+9+2(6x^4-3x^3-18x)=2(9x^4+12x+4)[/tex3]

Fazendo as operações e isolando em um único membro teremos:

[tex3]P(x)=x^6-6x^4-6x^3+12x^2-36x+1[/tex3]

Não sei como demonstrar o algoritmo de divisão de polinômios no latex mas, o nosso [tex3]P(x)=Q(x)*D(x)+R(x)[/tex3]
será igual a [tex3]P(x)=(x^3-3x-5)*(x^3-3x-1)+(3x^2-54x-4)[/tex3] note que [tex3]3-57=-55 [/tex3] que é a nossa resposta

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