Ensino Superior ⇒ Integral impropria Tópico resolvido

[iceman]

Alguém poderia me ajudar no calculo dessa integral? agradeço!

[tex3]\int\limits_{0}^{+\infty}xe^{-x}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{+\infty}xe^{-x}dx[/tex3]

[undefinied3]

[tex3]\int\limits_{0}^{+\infty}xe^{-x}dx=\lim_{a \to \inft} \int\limits_{0}^{a} xe^{-x}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{+\infty}xe^{-x}dx=\lim_{a \to \inft} \int\limits_{0}^{a} xe^{-x}dx[/tex3]

Fazendo [tex3]u = e^{-x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u = e^{-x}[/tex3]

, temos [tex3]du = -xe^{-x}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]du = -xe^{-x}dx[/tex3]

, então ficamos com:
[tex3]\lim_{a \to \inft} \int\limits_{0}^{a} -du = \lim_{a \to \inft} -u|^{a}_{0} = \lim_{a \to \inft} (-e^{-x})|^{a}_{0} = \lim_{a \to \inft} -\frac{1}{e^a}-(-\frac{1}{e^0}) = 0+1 = 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{a \to \inft} \int\limits_{0}^{a} -du = \lim_{a \to \inft} -u|^{a}_{0} = \lim_{a \to \inft} (-e^{-x})|^{a}_{0} = \lim_{a \to \inft} -\frac{1}{e^a}-(-\frac{1}{e^0}) = 0+1 = 1[/tex3]

EDIT: Resolução errada, por favor vejam a resolução abaixo do Lucas pois esta está certa. Perdão.

[LucasPinafi]

A resposta final está correta, porém o cálculo da integral não.

Código: Selecionar tudo

[tex3]\int xe^{-x} \ dx =- xe^{-x} + \int e^{-x} \ dx = -xe^{-x} - e^{-x}=-e^{-x}(x+1)[/tex3]

Para x indo ao infinito, temos que:

Código: Selecionar tudo

[tex3]\lim_{x \to +\infty} -e^{-x} (x+1) = \lim_{ x \to + \infty} - \frac{x+1}{e^x}=0[/tex3]

Assim,

Código: Selecionar tudo

[tex3]\int_0^{+\infty} xe^{-x} dx = 0 + 1 = 1[/tex3]

[undefinied3]

Tem razão, na hora de calcular [tex3]du[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]du[/tex3]

acabei "tombando" o [tex3]-x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-x[/tex3]

em vez de apenas o sinal negativo. Vou editar a postagem.