Ensino Superior

Calcular o valor de $A$ , onde $A = \frac{9a^2}{2}\int\limits_{0}^{\infty }\frac{x^2}{(1+x^3)^2}dx$

Usar $x^3 = t\,\,\,\rightarrow\,\,\,3x^2 dx = dt$

Desde já agradeço quem puder ajudar a resolver esse problema.

Mensagem não lidapor **poisedom** » 04 Mai 2016, 23:03 · Mensagem não lida por **poisedom** » 04 Mai 2016, 23:03

$A = \frac{9a^2}{2}\int\limits_{0}^{\infty }\frac{x^2}{(1+x^3)^2}dx= lim_{r\rightarrow \infty }\frac{9a^2}{2}\int\limits_{0}^{r }\frac{x^2}{(1+x^3)^2}dx=\frac{9a^2}{2} \cdot lim_{r\rightarrow \infty }\int\limits_{0}^{r }\frac{x^2}{(1+x^3)^2}dx ...(1)$

vamos primeiramente resolver a integral
$\int\frac{x^2}{(1+x^3)^2}dx$

fazendo $x^3 = t\,\,\,\rightarrow\,\,\,3x^2 dx = dt\,\,\,\rightarrow\,\,\,x^2 dx =\frac{dt}{3}$

assim

$\int\frac{x^2}{(1+x^3)^2}dx=\int\frac{dt}{3(1+t)^2}=\frac{1}{3}\int\frac{dt}{(1+t)^2}$

fazendo $t+1 = w\,\,\,\rightarrow\,\,\,dt = dw$
$\int\frac{x^2}{(1+x^3)^2}dx=\frac{1}{3}\int\frac{dt}{(1+t)^2}=\frac{1}{3}\int\frac{dw}{w^2}=\frac{1}{3}\int w^{-2}dw$
$\int\frac{x^2}{(1+x^3)^2}dx=\frac{1}{3}\cdot \frac{w^{-2+1}}{-2+1}$
$\int\frac{x^2}{(1+x^3)^2}dx=\frac{1}{3}\cdot \frac{w^{-1}}{-1}=-\frac{1}{3w}$
$\int\frac{x^2}{(1+x^3)^2}dx=-\frac{1}{3(t+1)}$
$\int\frac{x^2}{(1+x^3)^2}dx=-\frac{1}{3(x^3+1)} \ldots (2)$

substituindo (2) em (1) temos
$A = \frac{9a^2}{2}\int\limits_{0}^{\infty }\frac{x^2}{(1+x^3)^2}dx=\frac{9a^2}{2} \cdot lim_{r\rightarrow \infty }-\frac{1}{3(x^3+1)}|^r_0=$
$A = \frac{9a^2}{2}\int\limits_{0}^{\infty }\frac{x^2}{(1+x^3)^2}dx= \frac{9a^2}{2} \cdot lim_{r\rightarrow \infty }\left(-\frac{1}{3(r^3+1)}+\frac{1}{3(0^3+1)\right)}$
$A = \frac{9a^2}{2}\int\limits_{0}^{\infty }\frac{x^2}{(1+x^3)^2}dx= \frac{9a^2}{2} \cdot lim_{r\rightarrow \infty }\left(-\frac{1}{3(r^3+1)}+\frac{1}{3}\right)}=\frac{9a^2}{2} \cdot \frac{1}{3}$
$A = \frac{9a^2}{2}\int\limits_{0}^{\infty }\frac{x^2}{(1+x^3)^2}dx= \frac{3a^2}{2}$

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