Ensino Superior ⇒ Calculo 1 -derivada Tópico resolvido

[johnatta]

Considere f(x)= x² +1 se x<1
x+1 se x> ou igual a 1

f é derivável em 1 ? Esboce o gráfico de f e f'

Em quais números a seguinte função é derivável
g(x)= 2x se x< ou igual 0
2x -x² se 0<x<2
2-x se x> ou igual a 2

Dê uma fórmula para g1 e esboce o gráfico de g e g'

[Cardoso1979]

Olá johnatta, como são duas questões irei resolver somente uma, pois você infringiu em uma das regras deste fórum, seguindo a ordem, vou resolver a primeira

Uma solução:

Vamos determinar os limites laterais de 1 e verificar se eles conferem, se não conferirem, a função não é contínua e consequentemente não é derivável em x = 1.

Calculando o limite lateral à esquerda de x = 1:

[tex3]\lim_{h \rightarrow \ 0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{h \rightarrow \ 0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=[/tex3]

[tex3]\lim_{h \rightarrow \ 0^-}\frac{[(1+h)^2+1]-(1+1)}{h}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{h \rightarrow \ 0^-}\frac{[(1+h)^2+1]-(1+1)}{h}=[/tex3]

[tex3]\lim_{h \rightarrow \ 0^-}\frac{h^2+2h}{h}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{h \rightarrow \ 0^-}\frac{h^2+2h}{h}=[/tex3]

[tex3]\lim_{h \rightarrow \ 0^-}(h+2)=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{h \rightarrow \ 0^-}(h+2)=2[/tex3]

Calculando o limite lateral à direita de x = 1:

[tex3]\lim_{h \rightarrow \ 0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{h \rightarrow \ 0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=[/tex3]

[tex3]\lim_{h \rightarrow \ 0^+}\frac{[(1+h)+1]-(1+1)}{h}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{h \rightarrow \ 0^+}\frac{[(1+h)+1]-(1+1)}{h}=[/tex3]

[tex3]\lim_{h \rightarrow \ 0^+}\frac{h}{h}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{h \rightarrow \ 0^+}\frac{h}{h}=[/tex3]

[tex3]\lim_{h \rightarrow \ 0^+}1=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{h \rightarrow \ 0^+}1=1[/tex3]

Como os limites laterais pela esquerda e pela direita são diferentes, já podemos concluir que a função não é contínua em x = 1, portanto f não é diferenciável em x = 1.

Gráfico de f :

Screenshot_20200212-153451.png (43.1 KiB) Exibido 705 vezes

Gráfico de f' :

Screenshot_20200212-153512.png (35.83 KiB) Exibido 705 vezes

Graficos de f e f' no mesmo plano cartesiano:

download.jpeg (19.37 KiB) Exibido 705 vezes

Outra maneira :

Você pode também resolver do seguinte modo:

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{x^2+1-2}{x-1}=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{x^2+1-2}{x-1}=2[/tex3]

e

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{x+1-2}{x-1}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{x+1-2}{x-1}=1[/tex3]

Tem uma outra forma de representação dessa solução que é:

[tex3]f'_{-}(1)=\lim_{h \rightarrow \ 0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f'_{-}(1)=\lim_{h \rightarrow \ 0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}[/tex3]

e

[tex3]f'_{+}(1)=\lim_{h \rightarrow \ 0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f'_{+}(1)=\lim_{h \rightarrow \ 0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}[/tex3]

Bons estudos!