Ensino Superior ⇒ Calculo 1 - Derivada

[johnatta]

Encontre todos os pontos sobre a curva

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[tex3]x^2 + y^2 + xy=2[/tex3]

onde a inclinação da reta tangente é

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[tex3]-1[/tex3]

.

[fabit]

Vejamos o que acontece com derivação implícita.

[tex3]\frac{\mathrm{d}(x^2+y^2+xy)}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}2}{\mathrm{d}x}[/tex3]

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[tex3]\frac{\mathrm{d}(x^2+y^2+xy)}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}2}{\mathrm{d}x}[/tex3]

[tex3]\frac{\mathrm{d}(x^2)}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d}(y^2)}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d}(xy)}{\mathrm{d}x}=0[/tex3]

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[tex3]\frac{\mathrm{d}(x^2)}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d}(y^2)}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d}(xy)}{\mathrm{d}x}=0[/tex3]

[tex3]2x+\frac{\mathrm{d}(y^2)}{\mathrm{d}y}\times\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y=0[/tex3]

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[tex3]2x+\frac{\mathrm{d}(y^2)}{\mathrm{d}y}\times\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y=0[/tex3]

[tex3]2x+2y\cdot(-1)+y=0[/tex3]

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[tex3]2x+2y\cdot(-1)+y=0[/tex3]

Chegamos a [tex3]y=2x[/tex3]

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[tex3]y=2x[/tex3]

. Os pontos desejados devem ser solução do sistema formado por essa equação combinada com a original da curva:

[tex3]\begin{cases}
y=2x \\
x^2+y^2+xy=2
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
y=2x \\
x^2+y^2+xy=2
\end{cases}[/tex3]

Substituindo, [tex3]x^2+(2x)^2+x(2x)=2\Rightarrow x^2+4x^2+2x^2=2\Rightarrow7x^2=2[/tex3]

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[tex3]x^2+(2x)^2+x(2x)=2\Rightarrow x^2+4x^2+2x^2=2\Rightarrow7x^2=2[/tex3]

Então [tex3]x=\pm\sqrt{\frac{2}{7}}[/tex3]

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[tex3]x=\pm\sqrt{\frac{2}{7}}[/tex3]

e aí, considerando y=2x, os pontos são [tex3]\(\sqrt{\frac{2}{7}},2\sqrt{\frac{2}{7}}\)[/tex3]

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[tex3]\(\sqrt{\frac{2}{7}},2\sqrt{\frac{2}{7}}\)[/tex3]

e [tex3]\(-\sqrt{\frac{2}{7}},-2\sqrt{\frac{2}{7}}\)[/tex3]

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[tex3]\(-\sqrt{\frac{2}{7}},-2\sqrt{\frac{2}{7}}\)[/tex3]

.

Ok? (posso ter errado alguma conta...)