IME / ITA ⇒ (CN-96)-Geometria Tópico resolvido

[Marcos]

Sejam ABCDEFGHIJKL os vértices consecutivos de um dodecágono regular inscrito num círculo de raio [tex3]sqrt {6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sqrt {6}[/tex3]

.O perímetro do triângulo do triângulo de vértices AEH é igual a:

[tex3]a)3[3+\sqrt {2}+\sqrt {3}][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a)3[3+\sqrt {2}+\sqrt {3}][/tex3]

[tex3]b)3[1+\sqrt {2}+\sqrt {3}][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b)3[1+\sqrt {2}+\sqrt {3}][/tex3]

[tex3]c)3[1+2\sqrt {2}+\sqrt {3}][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c)3[1+2\sqrt {2}+\sqrt {3}][/tex3]

[tex3]d)3[2+\sqrt {2}+3\sqrt {3}][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d)3[2+\sqrt {2}+3\sqrt {3}][/tex3]

[tex3]e)3[1-\sqrt {2}+2\sqrt {3}][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]e)3[1-\sqrt {2}+2\sqrt {3}][/tex3]

[fabit]

São 3 cordas do círculo, uma compreendendo 3 ângulos de [tex3]30^\circ=\frac{360^\circ}{12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]30^\circ=\frac{360^\circ}{12}[/tex3]

, outra compreendendo 4 e outra compreendendo 5.

Então esses ângulos centrais são 90, 120 e 150 graus.

Agora aplico a fórmula [tex3]l(\theta)=R\sqrt{2-2\cos\theta}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]l(\theta)=R\sqrt{2-2\cos\theta}[/tex3]

(derivada diretamente da Lei dos Cossenos):

[tex3]EH=R\sqrt{2-2\cos90^\circ}=\sqrt{6}\times\sqrt{2-0}=\sqrt{12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]EH=R\sqrt{2-2\cos90^\circ}=\sqrt{6}\times\sqrt{2-0}=\sqrt{12}[/tex3]

(essa não precisava da fórmula pois o ângulo reto permite raciocinar com a diagonal do quadrado [tex3]d=l\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d=l\sqrt{2}[/tex3]

)
[tex3]AE=R\sqrt{2-2\cos120^\circ}=\sqrt{6}\times\sqrt{2+1}=\sqrt{18}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AE=R\sqrt{2-2\cos120^\circ}=\sqrt{6}\times\sqrt{2+1}=\sqrt{18}[/tex3]

[tex3]AH=R\sqrt{2-2\cos150^\circ}=\sqrt{6}\times\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{12+6\sqrt{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AH=R\sqrt{2-2\cos150^\circ}=\sqrt{6}\times\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{12+6\sqrt{3}}[/tex3]

As duas primeiras ficam, juntas, [tex3]\sqrt{12}+\sqrt{18}=2\sqrt{3}+3\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{12}+\sqrt{18}=2\sqrt{3}+3\sqrt{2}[/tex3]

. Não juntou mas simplificou bastante. A terceira eu vou tentar melhorar, mas não garanto sucesso:

[tex3]\sqrt{12+6\sqrt{3}}=\sqrt{12+\sqrt{108}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{12+6\sqrt{3}}=\sqrt{12+\sqrt{108}}[/tex3]

. Usando [tex3]\sqrt{A+\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}+\sqrt{\frac{A-C}{2}};ondeC=\sqrt{A^2-B}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{A+\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}+\sqrt{\frac{A-C}{2}};ondeC=\sqrt{A^2-B}[/tex3]

[tex3]\sqrt{12+6\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{12+6}{2}}+\sqrt{\frac{12-6}{2}};poisC=\sqrt{144-108}=6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{12+6\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{12+6}{2}}+\sqrt{\frac{12-6}{2}};poisC=\sqrt{144-108}=6[/tex3]

[tex3]\sqrt{12+6\sqrt{3}}=\sqrt{9}+\sqrt{3}=3+\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{12+6\sqrt{3}}=\sqrt{9}+\sqrt{3}=3+\sqrt{3}[/tex3]

Agora sim, junto tudo:
[tex3]2p=2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+3+\sqrt{3}=3+3\sqrt{2}+3\sqrt{3}=3(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2p=2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+3+\sqrt{3}=3+3\sqrt{2}+3\sqrt{3}=3(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})[/tex3]

Letra B

[adrianotavares]

Olá, Marcos.

Apenas para ilustrar com figura a resolução do fabit.

(CN - 96) Geometria.GIF (4.98 KiB) Exibido 1509 vezes

[Marcos]

Obrigado fabit pela resolução e adrianotavares pela ilustração!