Ensino Médio ⇒ Relações de Girard Tópico resolvido

[futuromilitar]

Tenho uma dúvida com a seguinte expressão [tex3]\left(\frac{x^{'}}{x''}\right)+\left(\frac{x^{''}}{x'}\right)=\frac{(x^{'})^2+(x'')^2{-2 \cdot(x^{'})} \cdot (x^{''})}{(x^{'}) \cdot(x^{''})}[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{x^{'}}{x''}\right)+\left(\frac{x^{''}}{x'}\right)=\frac{(x^{'})^2+(x'')^2{-2 \cdot(x^{'})} \cdot (x^{''})}{(x^{'}) \cdot(x^{''})}[/tex3]

.

Alguém pode me explicar o por que da existência dessa parte negativa se temos um quadrado da soma. Essa:

[tex3]-2 \cdot(x^{'})\cdot(x^{''})[/tex3]

Não deveria ser uma quadrado da soma normal?


Tks.

[csmarcelo]

Não seria [tex3]\frac{x'}{x''}+\frac{x''}{x'}=\frac{({x'}+{x''})^2-2x'x''}{x'x''}[/tex3]

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[tex3]\frac{x'}{x''}+\frac{x''}{x'}=\frac{({x'}+{x''})^2-2x'x''}{x'x''}[/tex3]

?

[futuromilitar]

Opa... isso mesmo! Acabei por descobrir esse identidade .

Não havia notado que era isso:

[tex3](a+b)^2=a^2+b^2+2ab[/tex3]

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[tex3](a+b)^2=a^2+b^2+2ab[/tex3]

(óbvio quadrado da soma), onde essa parte [tex3]+2 \cdot a \cdot b[/tex3]

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[tex3]+2 \cdot a \cdot b[/tex3]

tem que ser passada para o outro lado da igualdade, ficando: [tex3](a+b)^2-2ab[/tex3]

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[tex3](a+b)^2-2ab[/tex3]

Mas, acima de tudo, será que estou correto?

[petras]

[tex3]\frac{x'}{x''}+\frac{x''}{x'}=\frac{{(x')^{2}+(x'')^{2}}}{x'x''}\rightarrow complementado\ o\ quadrado\ teremos\frac{({(x')^{2}+(x'')^{2}+2x'x''})-2x'x''}{x'x''} =\frac{({x'+x''})^{2}-2x'x''}{x'x''}[/tex3]

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[tex3]\frac{x'}{x''}+\frac{x''}{x'}=\frac{{(x')^{2}+(x'')^{2}}}{x'x''}\rightarrow complementado\ o\ quadrado\ teremos\frac{({(x')^{2}+(x'')^{2}+2x'x''})-2x'x''}{x'x''} =\frac{({x'+x''})^{2}-2x'x''}{x'x''}[/tex3]

[futuromilitar]

Pode mostrar o completamento de quadrados passo a passo?

[Rafa2604]

Pode mostrar o completamento de quadrados passo a passo?

Completamento de quadrados:
[tex3]\frac{{(x')^{2}+(x'')^{2}}}{x'x''} \;\; \rightarrow \;\; \frac{({(x')^{2}+(x'')^{2}+2x'x''})-2x'x''}{x'x''} =\frac{({x'+x''})^{2}-2x'x''}{x'x''}[/tex3]

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[tex3]\frac{{(x')^{2}+(x'')^{2}}}{x'x''} \;\; \rightarrow \;\; \frac{({(x')^{2}+(x'')^{2}+2x'x''})-2x'x''}{x'x''} =\frac{({x'+x''})^{2}-2x'x''}{x'x''}[/tex3]

Vamos imaginar que ao invés de termos [tex3]x'[/tex3]

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[tex3]x'[/tex3]

e [tex3]x''[/tex3]

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[tex3]x''[/tex3]

, temos [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

e [tex3]b[/tex3]

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[tex3]b[/tex3]

, respectivamente.

[tex3](a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2[/tex3]

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[tex3](a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2[/tex3]

Como já tínhamos [tex3]a^2 + b^2[/tex3]

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[tex3]a^2 + b^2[/tex3]

, precisávamos do termo [tex3]2ab[/tex3]

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[tex3]2ab[/tex3]

para fecharmos o quadrado.
Como não podemos mexer na igualdade, é necessário somar um 0, ou seja, se adicionarmos um termo, devemos diminuí-lo também, em outras palavras, se tivermos, por exemplo:
[tex3]a^2+b^2[/tex3]

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[tex3]a^2+b^2[/tex3]

e queremos o termo [tex3]2ab[/tex3]

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[tex3]2ab[/tex3]

para termos o quadrado, nós adicionamos esse termo e também o diminuímos, ficando:
[tex3]a^2+b^2 + 2ab - 2ab[/tex3]

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[tex3]a^2+b^2 + 2ab - 2ab[/tex3]

, e com isso, temos o quadrado perfeito agora.
Portanto, [tex3]a^2+b^2 + 2ab - 2ab = a^2+2ab + b^2 - 2ab = (a+b)^2 - 2ab[/tex3]

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[tex3]a^2+b^2 + 2ab - 2ab = a^2+2ab + b^2 - 2ab = (a+b)^2 - 2ab[/tex3]

.


Não sei se ficou mais claro, qualquer coisa, só perguntar.

[ALANSILVA]

Ve no Kan Academy tem um vídeo muito bom lá
https://pt.khanacademy.org/math/algebra ... the-square