Cada estrada liga exatamente duas cidades é o mesmo que afirmar que cada estrada terá como extremos duas cidades. É diferente de afirmar que de cada cidade partem duas estradas.

Isso é que é um problema!

Olá italoemanuell,

Vou provar que um número n tem um múltiplo que se escreve apenas com algarismos 0 e 1 na base 10 .

Começamos pegando uma lista de n+1 números da seguinte forma:...

\triangle ABC:

C\widehat{B}A=2a
A\widehat{C}B=2b
2a+2b=90^\circ\Longrightarrow b=45^\circ -a
\triangle BFI:

F\widehat{I}B=c \Longrightarrow c=90^\circ -a
\triangle ACE:...

o assunto é congruência, é um estudo feito sobre os restos das divisões, ele não é tão complexo quanto parece

quanto se escreve

16\equiv 11 mod 5

se quer dizer que o resto da divisão que de...

Olá edu_landim

a-b pode ser escrito como:

\frac{1^2}{1}+\left(\frac{2^2}{3}-\frac{1^2}{3}\right)+\left(\frac{3^2}{5}-\frac{2^2}{5}\right)+\ldots...

Se a área do menor quadrado é 1, então o menor quadrado possui lado medindo 1.

Já o quadrado superior direito possui lado 3, pois sua altura coincide com a junção das alturas dos três quadrados de...

Cheguei numa solução, mas estou meio embolado com ela. Tem o gabarito?

b) mínima

Para que a área seja mínima, a medida do maior cateto deverá ser o inteiro mais próximo de 24. Encontrei para medida...

Olá rean, essa questão também caiu na prova do IME de 1990.

Fala triplebig!

Então ainda não cheguei em um resultado mas estou rabiscando aqui uma solução por geometria analítica e pelo jeito que está indo parece que sai. É bem trabalhoso, mas sai. Estou meio...

Olá rean

Tive uma idéia.

\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(4-\sqrt{3}x)^2}=1

\cos\theta=\frac{1}{x} e \text{sen}\theta=\frac{1}{4-\sqrt{3}x}

\text{sen}\theta =...

OLá triplebig e edu_landim!!

Segue-se abaixo a resolução da mesma:

Passando todos os termos do 2° membro para o 1° e ordenando,obtemos:...

Ja saiu o gabarito no site da OBM... Para falar a verdade eu fiz assim..

eu achei o par de equações

x+y=2

\sqrt{x^2+y^2}\leq\frac{5}{3}

ai eu achei duas raízes... só que ai eu não consegui...

Ola marco_sx

Valeu cara! Se minha memoria não me falha eram somente os positivos (eu espero!).

Brigadão

Ah, opa copiei o exercício errado, então a resposta fica 5 mesmo. Obrigado pelo aviso Paulo.

24 = 1x1x1x2x2x2x3 (colocando os 1's so pra ajudar)

b

Olá thadeu!

5^p \gt 50^3
5^p \gt (2 \cdot 5^2)^3
5^p \gt\, 8 \cdot 5^6
5^p \gt\, 1,6 \cdot 5 \cdot 5^6
5^p \gt 1,6 \cdot 5^7
Agora, vendo essa desigualdade dá pra perceber que p \gt 7....

Olá Marcos !

Sei que tava sumido um pouco, mas estou de volta né?

Valeu cara por resolvido ela!

Valeu por tudo irmão.

Olá Italo,

Veja a resolução clicando no link abaixo:

Lei dos Senos

Creio que seja mais uma maneira de solucionar o sistema.

a-b = \frac{1}{a}

b-c = \frac{1}{b}

c-a = \frac{1}{c}

\frac{ab + bc + ca}{abc} = 0

ab + bc + ca = 0

multiplicando as 3...

É Realmente marco_sx,a minha solução deu 2(fiz um processo parecido com o seu!!!).
Questão da OLIMPÍADA DA BIELORRUSIA,muito bonita!!!!!!!!

Valeu pelas soluções e acho que a resposta é mesmo 2!!!...

olá italo

dividindo tudo por x^8 temos :

1 + 3(\frac{y}{x^2})^4 = 4(\frac{y}{x^2})^3

Tornando a = \frac{y}{x^2} , temos

3a^4 - 4a^3 + 1 = 0

fatorando, temos

(a - 1)^2(3a^2 + 2a + 1) = 0...

Olá

a)

BC=x
BD=\frac{x}{6}
DM=\frac{2x}{6}
DN=\frac{x}{6}
DC=\frac{5x}{6}
Aplicando Pitágoras descobre-se o valor de NC (triângulo DNC)

NC = \frac{x\sqrt{6}}{3}
Aplicando Pitágoras...

(x+1)\cdot(y+2)=2xy

xy+2x+y+2=2xy

{-}xy+2x+y+2=0

{-}x(y-2)+y-2+4=0

(y-2)\cdot(1-x)=-4

Já que x e y são inteiros. podemos testar uma a uma as possibilidades....

Bom, vamos lá!

a+b+c=1 \Rightarrow -a-b-c=-1 \Rightarrow (1-a)+(1-b)+(1-c)=2
Sabe-se que a média aritmética é maior ou igual a média geométrica.

Portanto: \frac{(1-a)+(1-b)+(1-c)}{3} \geq \sqrt...