Olimpíadas

Qual dos inteiros positivos abaixo satisfaz a seguinte equação:

[tex3]\frac{4}{n^4} + \frac{5}{n^4} + \frac{6}{n^4}+ \ldots +\frac{n^4 - 6}{n^4} + \frac{n^4 - 5}{n^4} + \frac{n^4 - 4}{n^4} = 309 ?[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\frac{4}{n^4} + \frac{5}{n^4} + \frac{6}{n^4}+ \ldots +\frac{n^4 - 6}{n^4} + \frac{n^4 - 5}{n^4} + \frac{n^4 - 4}{n^4} = 309 ?[/tex3]

a) [tex3]2007[/tex3]
b) [tex3]309[/tex3]
c) [tex3]155[/tex3]
d) [tex3]25[/tex3]
e) [tex3]5[/tex3]

Resposta:

e

Mensagem não lidapor **mawapa** » 06 Set 2007, 23:07 · Mensagem não lida por **mawapa** » 06 Set 2007, 23:07

Olá aristotélico!

Colocando o [tex3]\frac{1}{n^4}[/tex3] em evidência ficamos:

[tex3]\frac{1}{n^4}.(4+5+6+\ldots +n^4-4)=306[/tex3]
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[tex3]\frac{1}{n^4}.(4+5+6+\ldots +n^4-4)=306[/tex3]

Temos uma PA de razão [tex3]1.[/tex3] Seja [tex3]p[/tex3] a quantidade de termos dessa PA.

Então pela expressão do termo geral temos,

Agora pela fórmula da soma dos termos da PA temos

[tex3]306 = (4 + n^4 -4).\frac{p}{2}.\frac{1}{n^4},[/tex3]
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[tex3]306 = (4 + n^4 -4).\frac{p}{2}.\frac{1}{n^4},[/tex3]

Substituindo [tex3]p:[/tex3]

[tex3]2\cdot 306\cdot n^4 = (n^4)\cdot (n^4 - 7),[/tex3]
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[tex3]2\cdot 306\cdot n^4 = (n^4)\cdot (n^4 - 7),[/tex3]

fazendo as simplificações encontramos,

Isso dá aproximadamente [tex3]n = 4,98,[/tex3] dái não sei se errei alguma coisa nas contas aí, ou a resposta pode ser isso mesmo.

t+

Hola Mawapa.

A igualdade é [tex3]309.[/tex3]

Mensagem não lidapor **mawapa** » 07 Set 2007, 19:59 · Mensagem não lida por **mawapa** » 07 Set 2007, 19:59

Ah, opa copiei o exercício errado, então a resposta fica [tex3]5[/tex3] mesmo. Obrigado pelo aviso Paulo.

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