(OBM-2007)Sejam a,b e c números tais que:
[tex3]\left\{a^2-ab=1\\b^2-bc=1\\c^2-ac=1\right.[/tex3]
O valor de [tex3]abc\cdot(a+b+c)[/tex3]
é igual a:
A)0
B)1
C)2
D)-1
E)-3
Olimpíadas ⇒ (OBM - 2007) Sistema de Equações Não-Lineares Tópico resolvido
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italoemanuell
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Jul 2007
07
12:59
(OBM - 2007) Sistema de Equações Não-Lineares
Editado pela última vez por italoemanuell em 07 Jul 2007, 12:59, em um total de 1 vez.
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marco_sx
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Jul 2007
08
00:00
Re: (OBM - 2007) Sistema de Equações Não-Lineares
Olá
[tex3]a.(a-b)=1[/tex3] , [tex3]b.(b-c)=1[/tex3] , [tex3]c.(c-a)=1[/tex3]
[tex3]a^2-ab=b^2-bc \Rightarrow a^2-b^2=ab-bc \Rightarrow (a+b).(a-b)=b.(a-c) \Rightarrow (a+b).\frac{1}{a}=b.(-\frac{1}{c}) \Rightarrow a+b=-\frac{ab}{c} \Rightarrow[/tex3]
[tex3]\Rightarrow a+b+c=-\frac{ab}{c}+c \\\Rightarrow (a+b+c).c=c^2-ab \\\Rightarrow (a+b+c).abc=ab.(c^2-ab) \\\Rightarrow (a+b+c).abc=ab.(1+ac-ab) \Rightarrow[/tex3]
[tex3]\Rightarrow (a+b+c).abc=ab.[1-a.(b-c)]=ab.(1-\frac{a}{b})=a.(b-a)=-a.(a-b)[/tex3]
Portanto: [tex3]abc.(a+b+c)=-1[/tex3]
[tex3]a.(a-b)=1[/tex3] , [tex3]b.(b-c)=1[/tex3] , [tex3]c.(c-a)=1[/tex3]
[tex3]a^2-ab=b^2-bc \Rightarrow a^2-b^2=ab-bc \Rightarrow (a+b).(a-b)=b.(a-c) \Rightarrow (a+b).\frac{1}{a}=b.(-\frac{1}{c}) \Rightarrow a+b=-\frac{ab}{c} \Rightarrow[/tex3]
[tex3]\Rightarrow a+b+c=-\frac{ab}{c}+c \\\Rightarrow (a+b+c).c=c^2-ab \\\Rightarrow (a+b+c).abc=ab.(c^2-ab) \\\Rightarrow (a+b+c).abc=ab.(1+ac-ab) \Rightarrow[/tex3]
[tex3]\Rightarrow (a+b+c).abc=ab.[1-a.(b-c)]=ab.(1-\frac{a}{b})=a.(b-a)=-a.(a-b)[/tex3]
Portanto: [tex3]abc.(a+b+c)=-1[/tex3]
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Auto Excluído (ID:276)
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Jul 2007
12
21:06
Re: (OBM - 2007) Sistema de Equações Não-Lineares
Creio que seja mais uma maneira de solucionar o sistema.
[tex3]a-b = \frac{1}{a}[/tex3]
[tex3]b-c = \frac{1}{b}[/tex3]
[tex3]c-a = \frac{1}{c}[/tex3]
[tex3]\frac{ab + bc + ca}{abc} = 0[/tex3]
[tex3]ab + bc + ca = 0[/tex3]
multiplicando as 3 equações temos
[tex3]a^2b^2c^2 = 1 + ab + bc + ca + a^2bc + ab^2c + abc^2 + a^2b^2c^2[/tex3]
[tex3]1 + ab + bc + ca + a^2bc + ab^2c + abc^2 = 0[/tex3]
[tex3]abc (a + b + c) = -1[/tex3]
tá ai.
[tex3]a-b = \frac{1}{a}[/tex3]
[tex3]b-c = \frac{1}{b}[/tex3]
[tex3]c-a = \frac{1}{c}[/tex3]
[tex3]\frac{ab + bc + ca}{abc} = 0[/tex3]
[tex3]ab + bc + ca = 0[/tex3]
multiplicando as 3 equações temos
[tex3]a^2b^2c^2 = 1 + ab + bc + ca + a^2bc + ab^2c + abc^2 + a^2b^2c^2[/tex3]
[tex3]1 + ab + bc + ca + a^2bc + ab^2c + abc^2 = 0[/tex3]
[tex3]abc (a + b + c) = -1[/tex3]
tá ai.
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:276) em 12 Jul 2007, 21:06, em um total de 1 vez.
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