Olimpíadas ⇒ (OBMEP - 2007) Potenciação

[Thadeu]

Quantos são os números inteiros [tex3]p[/tex3]

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[tex3]p[/tex3]

tais que [tex3]50^3<5^p<50^4?[/tex3]

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[tex3]50^3<5^p<50^4?[/tex3]

a) [tex3]1[/tex3]

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[tex3]1[/tex3]

b) [tex3]2[/tex3]

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[tex3]2[/tex3]

c) [tex3]3[/tex3]

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[tex3]3[/tex3]

d) [tex3]4[/tex3]

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[tex3]4[/tex3]

e) [tex3]5[/tex3]

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[tex3]5[/tex3]

[mawapa]

Olá thadeu!

• [tex3]5^p \gt 50^3[/tex3]

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  [tex3]5^p \gt 50^3[/tex3]

  
  [tex3]5^p \gt (2 \cdot 5^2)^3[/tex3]

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  [tex3]5^p \gt (2 \cdot 5^2)^3[/tex3]

  
  [tex3]5^p \gt\, 8 \cdot 5^6[/tex3]

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  [tex3]5^p \gt\, 8 \cdot 5^6[/tex3]

  
  [tex3]5^p \gt\, 1,6 \cdot 5 \cdot 5^6[/tex3]

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  [tex3]5^p \gt\, 1,6 \cdot 5 \cdot 5^6[/tex3]

  
  [tex3]5^p \gt 1,6 \cdot 5^7[/tex3]

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  [tex3]5^p \gt 1,6 \cdot 5^7[/tex3]

Agora, vendo essa desigualdade dá pra perceber que [tex3]p \gt 7.[/tex3]

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[tex3]p \gt 7.[/tex3]

Para ter certeza:

• [tex3]5^8\, \gt\, 1,6 \cdot 5^7[/tex3]

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  [tex3]5^8\, \gt\, 1,6 \cdot 5^7[/tex3]

  
  [tex3]5 \cdot 5^7\, \gt\, 1,6 \cdot 5^7\text{ }\div (5^7)[/tex3]

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  [tex3]5 \cdot 5^7\, \gt\, 1,6 \cdot 5^7\text{ }\div (5^7)[/tex3]

  
  [tex3]5 \gt 1,6[/tex3]

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  [tex3]5 \gt 1,6[/tex3]

Vimos que é verdade. Agora vamos fazer pra outra parte da desigualdade

• [tex3]5^p < 50^4[/tex3]

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  [tex3]5^p < 50^4[/tex3]

  
  [tex3]5^p < (2 \cdot 5^2)^4[/tex3]

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  [tex3]5^p < (2 \cdot 5^2)^4[/tex3]

  
  [tex3]5^p <16 \cdot 5^8[/tex3]

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  [tex3]5^p <16 \cdot 5^8[/tex3]

  
  [tex3]5^p < 3,2 \cdot 5 \cdot 5^8[/tex3]

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  [tex3]5^p < 3,2 \cdot 5 \cdot 5^8[/tex3]

  
  [tex3]5^p < 3,2 \cdot 5^9[/tex3]

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  [tex3]5^p < 3,2 \cdot 5^9[/tex3]

Olhando essa outra desigualdade dá pra perceber que [tex3]p < 10.[/tex3]

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[tex3]p < 10.[/tex3]

Logo há dois valores inteiros para [tex3]p[/tex3]

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[tex3]p[/tex3]

entre [tex3]7 \text{ e 10: } p=8[/tex3]

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[tex3]7 \text{ e 10: } p=8[/tex3]

e [tex3]p=9.[/tex3]

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[tex3]p=9.[/tex3]

Resposta: (b).