Olimpíadas ⇒ Geometria Plana: Área de um Triângulo

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).
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rean
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Jul 2007 02 11:53

Geometria Plana: Área de um Triângulo

Mensagem não lidapor rean » 02 Jul 2007, 11:53

Mensagem não lida por rean »

Seja o triângulo [tex3]ABC,[/tex3] tal que [tex3]\bar{AB}=\bar{AC}=6,[/tex3] onde o ponto [tex3]M[/tex3] é médio de [tex3]BC.[/tex3] Seja o ponto [tex3]D[/tex3] do lado [tex3]BC[/tex3] tal que o ângulo [tex3]B\hat A D=\frac{1}{6} B\hat A C.[/tex3] Existe uma reta perpendicular a [tex3]AD[/tex3] por [tex3]C[/tex3] cortando [tex3]AD[/tex3] em [tex3]N[/tex3] de modo que [tex3]\bar{DN}=\frac{\bar{DM}}{2}.[/tex3] Determine:

a) A área do triângulo [tex3]ABC.[/tex3]
b) Os ângulos do triângulo [tex3]ABC.[/tex3]
Editado pela última vez por rean em 02 Jul 2007, 11:53, em um total de 1 vez.
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Auto Excluído (ID:276)
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Jul 2007 03 19:23

Re: Geometria Plana: Área de um Triângulo

Mensagem não lidapor Auto Excluído (ID:276) » 03 Jul 2007, 19:23

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:276) »

Olá
AA68.png
a)
  • [tex3]BC=x[/tex3]
    [tex3]BD=\frac{x}{6}[/tex3]
    [tex3]DM=\frac{2x}{6}[/tex3]
    [tex3]DN=\frac{x}{6}[/tex3]
    [tex3]DC=\frac{5x}{6}[/tex3]
Aplicando Pitágoras descobre-se o valor de [tex3]NC[/tex3] (triângulo [tex3]DNC)[/tex3]
  • [tex3]NC = \frac{x\sqrt{6}}{3}[/tex3]
Aplicando Pitágoras descobre-se o valor de [tex3]AC[/tex3] (triângulo [tex3]ANC )[/tex3]
  • [tex3]AC =\sqrt{\frac{108-2x^2}{3}}[/tex3]
Aplicando Pitágoras descobre-se a altura do triângulo [tex3]BDA[/tex3] e do [tex3]ABC[/tex3] (altura [tex3]= AM )[/tex3]
  • [tex3]AM =\sqrt{144 - x^2}[/tex3]
Bom na verdade, se alguma coisa nesta solução estiver coerente; a área pode ser definida pelo dobro da área dos dois triângulos iguais formados pela altura.

Esta, seria [tex3]\frac{x \sqrt {144 - x^2}}{ 2}[/tex3]

b) [tex3]\hat B= \hat C =y \Rightarrow \hat A = 180^\circ - 2y[/tex3]
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:276) em 03 Jul 2007, 19:23, em um total de 1 vez.
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