Ensino Superior ⇒ EDP (Heat Equation) Tópico resolvido

[NerdGangster]

Derive a equacao de calor dada:

[tex3]u_{t}=\frac{1}{cp}\frac{\partial }{\partial x}(k(x)u_{x})+f(x,t)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u_{t}=\frac{1}{cp}\frac{\partial }{\partial x}(k(x)u_{x})+f(x,t)[/tex3]

Fonte: file:///C:/Users/UEM-MATEMATICA-DMI/Downloads/(Dover%20Books%20on%20Mathematics)%20Stanley%20J.%20Farlow%20-%20Partial%20Differential%20Equations%20for%20Scientists%20and%20Engineers-Dover%20Publications%20(1993).pdf ( Livro de Stanley J.Farlow, pag.31, pergunta 3).

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Supondo que a condutividade térmica k(x) dependa de x. A equação é

[tex3]u_{t} = \frac{1}{cp}\frac{\partial }{\partial x}[k(x)u_{x}] \ + \ f( x , t )[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u_{t} = \frac{1}{cp}\frac{\partial }{\partial x}[k(x)u_{x}] \ + \ f( x , t )[/tex3]

Expandindo a equação, temos

[tex3]u_{t} = \frac{1}{cp}[k(x)u_{xx} + k'(x)u_{x}] \ + \ f( x , t )[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u_{t} = \frac{1}{cp}[k(x)u_{xx} + k'(x)u_{x}] \ + \ f( x , t )[/tex3]

.


E se,

[tex3]\alpha (x) = \frac{k(x)}{cp}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha (x) = \frac{k(x)}{cp}[/tex3]

,

a equação do calor é:

[tex3]u_{t} = \alpha (x)u_{xx} + \alpha '(x)u_{x} \ + \ f( x , t )[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u_{t} = \alpha (x)u_{xx} + \alpha '(x)u_{x} \ + \ f( x , t )[/tex3]

.


Nota: 1

Se k fosse uma constante, a equação resultaria em

[tex3]u_{t} = \frac{k}{cp}u_{xx} \ + \ f( x , t )[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u_{t} = \frac{k}{cp}u_{xx} \ + \ f( x , t )[/tex3]

.


Nota: 2

Poderíamos ( embora raramente seja escrito desta forma ) escrever a equação [tex3]u_{t} = \frac{1}{cp}\frac{\partial }{\partial x}[k(x)u_{x}] \ + \ f( x , t )[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u_{t} = \frac{1}{cp}\frac{\partial }{\partial x}[k(x)u_{x}] \ + \ f( x , t )[/tex3]

como

[tex3]u_{t} = \frac{1}{cp}\left[\frac{dk}{dx}\frac{\partial u}{\partial x} \ + \ k(x)\frac{\partial^2u }{\partial x^2}\right] \ + \ f(x,t)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u_{t} = \frac{1}{cp}\left[\frac{dk}{dx}\frac{\partial u}{\partial x} \ + \ k(x)\frac{\partial^2u }{\partial x^2}\right] \ + \ f(x,t)[/tex3]

Excelente estudo!