Olimpíadas ⇒ Frações contínuas Tópico resolvido
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jvmago
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Jul 2018
30
12:25
Frações contínuas
Mostre que [tex3]\sqrt[8]{2207-\frac{1}{2207-\frac{1}{2207-...}}}[/tex3]
pode ser escrito no formato [tex3]\frac{a+b\sqrt{c}}{d}[/tex3]
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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Jul 2018
30
12:49
Re: Frações contínuas
[tex3]x = 2207 - \frac{1}{x}[/tex3]
então [tex3]x = \frac{2}{2207 + 987 \sqrt 5} = \frac{2207-987\sqrt5}2[/tex3]
cuja raíz oitava é [tex3]\frac{3-\sqrt5}2[/tex3] (pelo binômio de newton)
então [tex3]x = \frac{2}{2207 + 987 \sqrt 5} = \frac{2207-987\sqrt5}2[/tex3]
cuja raíz oitava é [tex3]\frac{3-\sqrt5}2[/tex3] (pelo binômio de newton)
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jvmago
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Jul 2018
30
12:51
Re: Frações contínuas
Conseguiria mostrar como chegou em [tex3]\frac{2}{2207 + 987 \sqrt 5}[/tex3]
e como usou o binomio para deduzir [tex3]\frac{3-\sqrt5}2[/tex3]
?
Desde ja grato
Desde ja grato
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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Auto Excluído (ID:12031)
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Jul 2018
30
13:07
Re: Frações contínuas
chame [tex3]x = 2207 - \frac{1}{2207 -...}[/tex3]
então é verdade que [tex3]x = 2207 - \frac1x[/tex3]
resolvendo o baskara chega-se em [tex3]x = \frac{2}{2207 + 987\sqrt5}[/tex3] e [tex3]x = \frac{2207 + 987\sqrt5}2[/tex3] deve ter um jeito de separar as duas e escolher a que faz mais sentido, de qualquer forma escrevendo:
[tex3](\frac{a+b\sqrt5}c)^8 = x[/tex3] e comparando os coeficientes você chega em [tex3]\frac{3 \pm \sqrt 5}{2}[/tex3] a depender do x
resolvendo o baskara chega-se em [tex3]x = \frac{2}{2207 + 987\sqrt5}[/tex3] e [tex3]x = \frac{2207 + 987\sqrt5}2[/tex3] deve ter um jeito de separar as duas e escolher a que faz mais sentido, de qualquer forma escrevendo:
[tex3](\frac{a+b\sqrt5}c)^8 = x[/tex3] e comparando os coeficientes você chega em [tex3]\frac{3 \pm \sqrt 5}{2}[/tex3] a depender do x
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Andre13000
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Jul 2018
30
14:32
Re: Frações contínuas
É interessante o fato que [tex3]\frac{2207}{987}\approx \sqrt{5}[/tex3]
Isso nos leva a pensar que existe alguma equação de Pell no meio, em particular, esta:
[tex3]\(\frac{x}{2}\)^2-5\(\frac{y}{2}\)^2=1[/tex3]
Note que [tex3]x=3[/tex3] e [tex3]y=1[/tex3] satisfaz ela (solução fundamental). Usando as propriedades de Pell, admite-se que existe um n tal que:
[tex3]\(\frac{{3\pm\sqrt{5}}}{2}\)^n=\frac{2207\pm 987\sqrt{5}}{2}[/tex3]
Eu estou imaginar algum método que permita elucidar que n=8 que não força bruta, mas por enquanto não sei exatamente por onde ir.
Isso nos leva a pensar que existe alguma equação de Pell no meio, em particular, esta:
[tex3]\(\frac{x}{2}\)^2-5\(\frac{y}{2}\)^2=1[/tex3]
Note que [tex3]x=3[/tex3] e [tex3]y=1[/tex3] satisfaz ela (solução fundamental). Usando as propriedades de Pell, admite-se que existe um n tal que:
[tex3]\(\frac{{3\pm\sqrt{5}}}{2}\)^n=\frac{2207\pm 987\sqrt{5}}{2}[/tex3]
Eu estou imaginar algum método que permita elucidar que n=8 que não força bruta, mas por enquanto não sei exatamente por onde ir.
Editado pela última vez por Andre13000 em 30 Jul 2018, 14:33, em um total de 1 vez.
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
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