Ensino Superior ⇒ Integral dupla por coordenadas polares

[lipemachado]

Use coordenadas polares para calcular a seguinte integral dupla:

[tex3]\int\limits\int\limits_{x^2+y^2\leq 1}^{} (x^2+y) dA[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits\int\limits_{x^2+y^2\leq 1}^{} (x^2+y) dA[/tex3]

Obs.:O intervalo inferior x^2+y^2 [tex3]\leq[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\leq[/tex3]

1 é da segunda integral.

[LucasPinafi]

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[tex3]\iint_B(x^2+y) dxdy[/tex3]

, onde B é a região de todos os x,y tais que

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[tex3]x^2+y^2\leq 1[/tex3]

Fazendo a substituição:

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[tex3]\begin{cases}
x= \rho \cos \theta \\
y=\rho \sin \theta
\end{cases}[/tex3]

Resulta que:

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[tex3]\iint_B (x^2+y) dxdy =\iint_{B^*} (\rho^2 \cos~2 \theta +\rho \sin \theta ) |{\frac{\partial(x,y)}{\partial(\rho, \theta)}| d\theta d\rho[/tex3]

, onde

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[tex3]B^*[/tex3]

é a região

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[tex3]0\leq \rho \leq 1, 0\leq\theta \leq 2\pi[/tex3]

.
Como:

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[tex3]\frac{\partial (x,y)}{\partial(\rho,\theta)} = \frac{\partial x}{\partial \rho} \frac{\partial y}{\partial \theta}- \frac{\partial y}{\partial \rho} \frac{\partial x}{\partial \theta}[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial(x,y)}{\partial(\rho,\theta)}=\rho[/tex3]

Assim, temos:

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[tex3]\iint_{B^*} (\rho^2 \cos^2 \theta +\rho \sin \theta )\rho d\theta d\rho=\int_0^{2\pi} \int_0^1 (\rho^3 \cos^2 \theta +\rho^2 \sin \theta ) d\rho d\theta[/tex3]

Tente terminar, qualquer dúvida só falar.