Pré-Vestibular ⇒ (UNICID) Geometria Plana Tópico resolvido

[isahllama]

Na figura, ABCD é um retângulo e AECF é um paralelogramo

figura.png (17.91 KiB) Exibido 1925 vezes

A área do paralelogramo AECF, em unidades de área, é

(A) 40.
(B) 35.
(C) 20.
(D) 30.
(E) 25.

Resposta

---

Resposta: (A)

[Ittalo25]

figura.png (18.13 KiB) Exibido 1920 vezes

Achando a área do triângulo AGF:

Semelhança de triângulos para achar o valor de "x":

[tex3]\frac{3}{x}=\frac{12}{8}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3}{x}=\frac{12}{8}[/tex3]

[tex3]x = 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = 2[/tex3]

Usando Pitágoras:

[tex3]GF = GC-FC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]GF = GC-FC[/tex3]

[tex3]GF = \sqrt{3^2+12^2}-\sqrt{2^2+8^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]GF = \sqrt{3^2+12^2}-\sqrt{2^2+8^2}[/tex3]

[tex3]GF = \sqrt{153}-\sqrt{68}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]GF = \sqrt{153}-\sqrt{68}[/tex3]

Agora perceba que a tangente do ângulo "z" é [tex3]\frac{12}{3} = 4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{12}{3} = 4[/tex3]

e que o ângulo "y" é seu suplemento:

[tex3]tg(y) = tg(\pi -z) = \frac{tg(\pi )-tg(z)}{1+tg(\pi ).tg(z)} = -4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg(y) = tg(\pi -z) = \frac{tg(\pi )-tg(z)}{1+tg(\pi ).tg(z)} = -4[/tex3]

Portanto:

[tex3]\frac{sen(y)}{cos(y)} = -4\rightarrow sen(y) = \frac{4\sqrt{17}}{17}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{sen(y)}{cos(y)} = -4\rightarrow sen(y) = \frac{4\sqrt{17}}{17}[/tex3]

A área do triângulo AGF é:

[tex3]\frac{AG.GF.sen(y)}{2}= \frac{5.(\sqrt{153}-\sqrt{68}).( \frac{4\sqrt{17}}{17})}{2} = 10u.a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{AG.GF.sen(y)}{2}= \frac{5.(\sqrt{153}-\sqrt{68}).( \frac{4\sqrt{17}}{17})}{2} = 10u.a[/tex3]

A área do triângulo retângulo GDC:

[tex3]\frac{12.3}{2} = 18 u.a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{12.3}{2} = 18 u.a[/tex3]

Agora basta subtrair da área do quadrado:

[tex3]12.8 - 2.(18+10) = 40[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]12.8 - 2.(18+10) = 40[/tex3]

[Vinisth]

Segunda solução:

Calcule a área total e subtraia a área da parte branca (são dois triângulo simétricos com os outros dois).
[tex3]A= 8\cdot 12 - 2\cdot \left(\frac{12\cdot 2}{2}+\frac{5 \cdot 4}{2}\right)=40[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A= 8\cdot 12 - 2\cdot \left(\frac{12\cdot 2}{2}+\frac{5 \cdot 4}{2}\right)=40[/tex3]

Abraço !

[isahllama]

Obrigada Ittalo25 e Vinisth .


Vinisth só uma correção ..seria [tex3]A= 8\cdot 12 - 2\cdot \left(\frac{12\cdot 3*}{2}+\frac{5 \cdot 4}{2}\right)=40[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A= 8\cdot 12 - 2\cdot \left(\frac{12\cdot 3*}{2}+\frac{5 \cdot 4}{2}\right)=40[/tex3]

...acho que passou despercebido por ti rs..mas do resto esta corretissímo e eu entendi..mais uma vez Obrigada!

[SampaioK]

Poderia me dizer por que ficou 5 x 4/ 2 ? Não entendi como encontrou a base desse triangulo.

[petras]

SampaioK,

BAse = 8-3 = 5..está no segmento BC

Altura perpendicular de E até AB = 12-8 = 4

[SampaioK]

Ahh simmm !! Muito obrigada !