Ensino Superior

Mensagem não lidapor **neoreload** » 23 Out 2014, 05:53 · Mensagem não lida por **neoreload** » 23 Out 2014, 05:53

Como resolver essa questão:

Mostrar que a função $y=\frac{1}{1+x+\ln x}$ satisfaz a equação $xy'=y(y\ln x-1)$

Se puder colocar o passo a passo ^^. Obrigado desde já.

Mensagem não lidapor **neoreload** » 23 Out 2014, 19:08 · Mensagem não lida por **neoreload** » 23 Out 2014, 19:08

alguém ?

Mensagem não lidapor **jrneliodias** » 23 Out 2014, 20:56

Olá, Neoreload.

Primeiramente, achemos a derivada da função,

$y'=-\frac{1+\frac{1}{x}}{(1+x+\ln x)^2}$

Então,

$y'x=-\frac{x+1 }{(1+x+\ln x)^2}$

Em seguida,

$y\ln x-1 =\frac{1}{1+x+\ln x}\cdot \ln x-1=\frac{\ln x-1-x-\ln x}{1+x+\ln x}=-\frac{x+1}{1+x+\ln x}$

Logo,

$y(y\ln x-1)=-\frac{x+1}{(1+x+\ln x)^2}$

Portanto, $y(y\ln x-1)=xy'$

Espero ter ajudado, abraço.

Mensagem não lidapor **neoreload** » 24 Out 2014, 02:11 · Mensagem não lida por **neoreload** » 24 Out 2014, 02:11

jrneliodias escreveu:Olá, Neoreload.

Primeiramente, achemos a derivada da função,

$y'=-\frac{1+\frac{1}{x}}{(1+x+\ln x)^2}$
Código: Selecionar tudo
[tex3]y'=-\frac{1+\frac{1}{x}}{(1+x+\ln x)^2}[/tex3]

Então,

$y'x=-\frac{x+1 }{(1+x+\ln x)^2}$
Código: Selecionar tudo
[tex3]y'x=-\frac{x+1 }{(1+x+\ln x)^2}[/tex3]

Em seguida,

$y\ln x-1 =\frac{1}{1+x+\ln x}\cdot \ln x-1=\frac{\ln x-1-x-\ln x}{1+x+\ln x}=-\frac{x+1}{1+x+\ln x}$
Código: Selecionar tudo
[tex3]y\ln x-1 =\frac{1}{1+x+\ln x}\cdot \ln x-1=\frac{\ln x-1-x-\ln x}{1+x+\ln x}=-\frac{x+1}{1+x+\ln x}[/tex3]

Logo,

$y(y\ln x-1)=-\frac{x+1}{(1+x+\ln x)^2}$
Código: Selecionar tudo
[tex3]y(y\ln x-1)=-\frac{x+1}{(1+x+\ln x)^2}[/tex3]

Portanto, $y(y\ln x-1)=xy'$
Código: Selecionar tudo
[tex3]y(y\ln x-1)=xy'[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

Não entendi direito a parte inicial do $y'x$ . Como o $y'=-\frac{1+\frac{1}{x}}{(1+x+\ln x)^2}$ virou o $y'x=-\frac{x+1 }{(1+x+\ln x)^2}$ ? Porque o mmc do [tex3]1+\frac{1}{x}[/tex3] da [tex3]\frac{x+1}{x}[/tex3] , e o y´x é obtido como? e porque depois na outra parte vc multiplicou pelo lnx-1 ?

Mensagem não lidapor **jrneliodias** » 24 Out 2014, 09:56

Neoreload,

Veja que $y'=\frac{1+\frac{1}{x}}{(1+x+\ln x)^2}$

Se eu multiplicar ambos os membros por $x$ , terei

$y'x=\frac{(1+\frac{1}{x})\cdot x}{(1+x+\ln x)^2}$

E sabemos que

$(1+\frac{1}{x})\cdot x=x+1$

Após isso, eu guardei essa informação, pois queria achar o valor de $xy'$ . Feito isso, procurei obter o valor de $y(y\ln x-1)$ . Então, olhei inicialmente para $y(\ln x)-1$

$y(\ln x)-1=\left(\frac{1}{1+x+\ln x}\right)\cdot (\ln x)-1=\frac{\ln x}{1+x+\ln x}-1$

Então,

$y(\ln x)-1=-\frac{x+1}{1+x+\ln x}$

Daí, multipliquei ambos os lados por $y$ , para ter $y(y\ln x-1)$

$y(y\ln x-1)=\left(\frac{1}{1+x+\ln x}\right)\cdot \left(-\frac{x+1}{1+x+\ln x}\right)$

$=-\frac{x+1}{(1+x+\ln x)^2}$

Portanto, notamos que é o mesmo valor de $xy'$ , logo provamos que a equação é verdadeira.

Espero ter ajudado, abraço.

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