Olimpíadas ⇒ Geometria Plana: Área de um Triângulo
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Jul 2007
05
12:44
Geometria Plana: Área de um Triângulo
Calcule a área do triângulo [tex3]ABC[/tex3]
cujas bissetrizes internas medem [tex3]\text{3 cm, 5 cm e 8 cm.}[/tex3]
Editado pela última vez por caju em 11 Jan 2020, 16:05, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
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Mai 2020
28
09:15
Re: Geometria Plana: Área de um Triângulo
[tex3]\beta(a) =\sqrt{bc-\frac{a^2bc}{(b+c)^2}}[/tex3]
E análogos
Desenvolvendo
[tex3]\begin{cases}
9b^2+18bc+9c^2=b^3c+2b^2c^2+bc^3-a^2bc \\
25a^2+50ac+25c^2=a^3c+2a^2c^2+ac^3-ab^2c \\
64a^2+128b+64b^2=a^3b+2a^2b^2+ab^3-abc^2
\end{cases}[/tex3]
Agora é só resolver esse sisteminha de três equações com três incógnitas
E jogar na fórmula de Heron...
Deve ter algum truque mais fácil
Exemplo daquela ideia das medianas onde o triângulo com lados do tamanho das medianas possui área igual a 4/3 da área do triângulo original...
Todavia, não conheço nada assim para bissetrizes
E análogos
Desenvolvendo
[tex3]\begin{cases}
9b^2+18bc+9c^2=b^3c+2b^2c^2+bc^3-a^2bc \\
25a^2+50ac+25c^2=a^3c+2a^2c^2+ac^3-ab^2c \\
64a^2+128b+64b^2=a^3b+2a^2b^2+ab^3-abc^2
\end{cases}[/tex3]
Agora é só resolver esse sisteminha de três equações com três incógnitas
E jogar na fórmula de Heron...
Deve ter algum truque mais fácil
Exemplo daquela ideia das medianas onde o triângulo com lados do tamanho das medianas possui área igual a 4/3 da área do triângulo original...
Todavia, não conheço nada assim para bissetrizes
Editado pela última vez por Deleted User 23699 em 28 Mai 2020, 09:25, em um total de 1 vez.
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Fev 2022
13
22:57
Re: Geometria Plana: Área de um Triângulo
uns rabiscos:
[tex3]b_a = \frac{\sqrt{bcp(p-a)}}{b+c} [/tex3]
[tex3]b_b = \frac{\sqrt{acp(p-b)}}{a+c}[/tex3]
[tex3]\frac{b_a}{b_b} = \sqrt{\frac{b(p-a)}{a(p-b)}} \cdot \frac{a+c}{b+c} [/tex3]
[tex3]b_a = \frac{\sqrt{bcp(p-a)}}{b+c} [/tex3]
[tex3]b_b = \frac{\sqrt{acp(p-b)}}{a+c}[/tex3]
[tex3]\frac{b_a}{b_b} = \sqrt{\frac{b(p-a)}{a(p-b)}} \cdot \frac{a+c}{b+c} [/tex3]
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Fev 2022
14
11:10
Re: Geometria Plana: Área de um Triângulo
Esse problema é bem complicado. Veja bem, não é possível encontrar uma expressão simples com radicais que dê a área do triângulo em função dos comprimentos das suas bissetrizes internas, segundo este paper:
https://www.researchgate.net/publicatio ... _bisectors
Segundo o próprio paper, porém, é válida a seguinte relação:
[tex3]4a_2r^2S^2 -8a_3r^3S^2 = r^4 + S^2[/tex3] , onde [tex3]a_2 = b_a^{-2}+b_b^{-2}+b_c^{-2}[/tex3] e [tex3]a_3 = \frac1{b_ab_bb_c}[/tex3]
No nosso caso, [tex3]a_3 = \frac1{120}[/tex3] e [tex3]a_2 = \frac{2401}{14400}[/tex3] :
[tex3]\frac{r^2S^2 \cdot2401}{3600} - \frac{r^3S^2}{15} = r^4 + S^2[/tex3]
não ajuda muito.
Outra relação que talvez ajude seja: [tex3]b_a = 2p \frac{\sen (\frac B2) \sen (\frac C2)}{\cos(\frac A2) \cos (\frac{B-C}2)}[/tex3] e usar que [tex3]b_A = b_c + b_b[/tex3] no caso. Talvez nos dê um dos ângulos do triângulo, o que poderia ajudar a resolver esse problema em particular. Mas geralmente não é possível expressar a área do triângulo em termos dos comprimentos das bissetrizes internas (por questões "numéricas", como resolver equações do quinto grau)
https://www.researchgate.net/publicatio ... _bisectors
Segundo o próprio paper, porém, é válida a seguinte relação:
[tex3]4a_2r^2S^2 -8a_3r^3S^2 = r^4 + S^2[/tex3] , onde [tex3]a_2 = b_a^{-2}+b_b^{-2}+b_c^{-2}[/tex3] e [tex3]a_3 = \frac1{b_ab_bb_c}[/tex3]
No nosso caso, [tex3]a_3 = \frac1{120}[/tex3] e [tex3]a_2 = \frac{2401}{14400}[/tex3] :
[tex3]\frac{r^2S^2 \cdot2401}{3600} - \frac{r^3S^2}{15} = r^4 + S^2[/tex3]
não ajuda muito.
Outra relação que talvez ajude seja: [tex3]b_a = 2p \frac{\sen (\frac B2) \sen (\frac C2)}{\cos(\frac A2) \cos (\frac{B-C}2)}[/tex3] e usar que [tex3]b_A = b_c + b_b[/tex3] no caso. Talvez nos dê um dos ângulos do triângulo, o que poderia ajudar a resolver esse problema em particular. Mas geralmente não é possível expressar a área do triângulo em termos dos comprimentos das bissetrizes internas (por questões "numéricas", como resolver equações do quinto grau)
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Fev 2022
14
14:07
Re: Geometria Plana: Área de um Triângulo
FelipeMartin,
Então não seria tão tranquilo como vc mencionou na outra questão que pedia a dedução da fórmula da Área em função das bissetrizes???
Então não seria tão tranquilo como vc mencionou na outra questão que pedia a dedução da fórmula da Área em função das bissetrizes???
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Fev 2022
14
15:31
Re: Geometria Plana: Área de um Triângulo
petras, a fórmula da outra questão não usa somente o comprimento das bissetrizes...
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- petras
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Fev 2022
14
22:18
Re: Geometria Plana: Área de um Triângulo
FelipeMartin,
Sua fórmula está incompleta..falta o 2 no numerador
[tex3]\frac{2}{b+c} \sqrt{bcp(p-a)}[/tex3] ..as outras também
Sua fórmula está incompleta..falta o 2 no numerador
[tex3]\frac{2}{b+c} \sqrt{bcp(p-a)}[/tex3] ..as outras também
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Fev 2022
14
22:40
Re: Geometria Plana: Área de um Triângulo
petras, sim, faltou o 2 mesmo. Falha minha.
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