Maratonas de Matemática

Agash · Mensagem não lida por **Agash** » 18 Ago 2011, 19:44

Solução do Problema 30

[tex3]\ C_{y}^x = \ C_{y}^{x - 1} \rightarrow C_{y}^x=C_{y}^{y-(x-1)}[/tex3]
[tex3]\rightarrow x=y-x+1 \leftrightarrow y=2x-1[/tex3]

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Problema 31

(IME 1971/1972) Seja [tex3]A[/tex3] um conjunto tal que [tex3]n(A) = p>0[/tex3] . Determinar justificando:

a) o números de relação reflexivas distintas em [tex3]A[/tex3] .
b) o números de relação simétricas distintas em [tex3]A[/tex3] .
c) o números de relação anti-simétricas distintas em [tex3]A[/tex3] .

Mensagem não lidapor **poti** » 18 Ago 2011, 21:41 · Mensagem não lida por **poti** » 18 Ago 2011, 21:41

Solução do Problema 31

Comentário: Questão com conceitos de ensino superior (vi isso hoje em Matemática Discreta I) e que não dá nem as definições (muito confusas e divergentes quando tratamos de conjuntos e relações); acho melhor evitar pois não é nada prático para os vestibulares atuais. Vou considerar [tex3]n(a)[/tex3] como o número de elementos do conjunto, pois não vejo saída se considerar como o número de subconjuntos.

O que o exercício pede são as relações de equivalência. Vamos lá:

a) Relação Reflexiva: [tex3]\{x \ | \ (x, x) \in A \}[/tex3]

Como pode-se fazer apenas uma reflexão para cada termo, o número de relações reflexivas corresponde ao número de elementos: [tex3]\boxed{p}[/tex3]

b) Relação Simétrica: [tex3]\{(x, y) \ | \ (x,y) \in A \to (y, x) \in A \}[/tex3]

Exemplo:

[tex3]A = \{1, 2, 3, 4 \}[/tex3]

[tex3](1,1), (2,2), (3,3), (4,4)[/tex3]
[tex3](1, 2), (1, 3), (1, 4)[/tex3]
[tex3](2, 1), (2,3), (2, 4)[/tex3]
[tex3](3, 1), (3,2), (3,4)[/tex3]
[tex3](4, 1), (4,2), (4,3)[/tex3]

Nº de Relações: [tex3]4^2 = 16 = n(A)^2[/tex3]

Todos os representados implicam um simétrico. Fazendo para outras quantidades, é fácil perceber que o número de relações sempre obedece [tex3]n(A)^2[/tex3] . Nesse caso:

[tex3]\boxed{p^2}[/tex3]

c) Relação Antisimétrica: [tex3]\{(x, y) \ | \ (x,y) = (y,x) \in A \}[/tex3]

Usando o exemplo anterior:

[tex3](1,1), (2,2), (3,3), (4,4)[/tex3]
[tex3](1, 2), (1, 3), (1, 4)[/tex3]
[tex3]\cancel{(2, 1)}, (2,3), (2, 4)[/tex3]
[tex3]\cancel{(3, 1)}, \cancel{(3,2)}, (3,4)[/tex3]
[tex3]\cancel{(4, 1)}, \cancel{(4,2)}, \cancel{(4,3)}[/tex3]

Perceba que ficamos com [tex3]10[/tex3] pares (pois tiramos [tex3]6[/tex3] , uma diferença de [tex3]4[/tex3] termos = [tex3]n(A)[/tex3] ).

Se fizermos [tex3]A = \{1, 2, 3 \}[/tex3] , ficamos com [tex3]6[/tex3] pares (pois tiramos [tex3]3[/tex3] , uma diferença de [tex3]3[/tex3] termos = [tex3]n(A)[/tex3] ).
Se fizermos [tex3]A = \{1, 2, 3, 4, 5 \}[/tex3] , ficamos com [tex3]15[/tex3] pares (pois tiramos [tex3]10[/tex3] , uma diferença de [tex3]5[/tex3] termos = [tex3]n(A)[/tex3] ).

É fácil perceber que a diferença sempre será o próprio número de elementos. O número de pares obedece uma PA. Sendo assim:

[tex3]\boxed{\frac{p(p + 1)}{2}}[/tex3]

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Problema 32

(ITA - 1962) Resolver a equação:

[tex3]4x^6 - 21x^4 + 21x^2 - 4 = 0[/tex3]

Mensagem não lidapor **lecko** » 19 Ago 2011, 12:12 · Mensagem não lida por **lecko** » 19 Ago 2011, 12:12

Solução do Problema 32 Proposto por Poti.

Teorema: Toda equação recíproca de segunda espécie tem [tex3]1[/tex3] e [tex3]{-}1[/tex3] como raízes.

É fácil perceber isso pela pesquisa de raízes também. Sendo assim, aplicamos Briot-Ruffini com a raiz [tex3]1[/tex3] :

[tex3]\begin{array}{c|cccccc|c} & 4 & 0 & -21 & 0 & 21 & 0 & -4 \\ \hline
1 & 4 & 4 & -17 & -17 & 4 & 4 & \boxed{0} \\
\end{array}[/tex3]

Agora aplicamos com a raiz [tex3]-1[/tex3] :

[tex3]\begin{array}{c|ccccc|c} & 4 & 4 & -17 & -17 & 4 & 4 \\ \hline
-1 & 4 & 0 & -17 & 0 & 4 & \boxed{0} \\
\end{array}[/tex3]

Rebaixamos duas vezes, então de [tex3]x^6[/tex3] passamos para [tex3]x^4[/tex3] no maior termo. Atribuindo os coeficientes achados à equação:

[tex3]4x^4 - 17x^2 + 4 = 0[/tex3]

Chamando [tex3]x^2 = t[/tex3] :

[tex3]4t^2 - 17t + 4 = 0[/tex3]

[tex3]\Delta = 225[/tex3]

[tex3]t = \frac{17 \pm 15}{8}[/tex3]

[tex3]t = 4[/tex3] , [tex3]t = \frac{1}{4}[/tex3]

Voltando à incógnita original:

[tex3]x = \pm 2[/tex3] , [tex3]x = \pm \frac{1}{2}[/tex3]

Portanto o conjunto solução da equação é: [tex3]\boxed{S = \left\{ 1, -1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 2, -2 \right\}}[/tex3]

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Problema 33

(ITA - 1980) Sobre a função [tex3]f(x)=\sen^2x[/tex3] , podemos afirmar que:
a) É uma função periódica de período [tex3]4 \pi[/tex3] .
b) É uma função periódica de período [tex3]2 \pi[/tex3] .
c) É uma função periódica de período [tex3]\pi[/tex3] .
d) É uma função periódica onde o período pertence ao intervalo aberto [tex3]\left( \pi; 2 \pi \right)[/tex3] .
e) Não é função periódica.

Resposta

Gabarito: Letra [tex3]C[/tex3]

Mensagem não lidapor **poti** » 19 Ago 2011, 12:39 · Mensagem não lida por **poti** » 19 Ago 2011, 12:39

Solução do Problema 33

[tex3]g(x) = \sen^2 (x) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2x))[/tex3]

Sabemos que qualquer função periódica do tipo [tex3]g(x) = c + d\cdot f(a\cdot x + b)[/tex3] tem período [tex3]P = \frac{p}{|a|}[/tex3] , onde [tex3]p[/tex3] é o período de [tex3]f(x)[/tex3] .

Nossa [tex3]g(x)[/tex3] é:

[tex3]\frac{1}{2}(1 - \cos(2x))[/tex3]

O período da função [tex3]f(x) = \cos(x)[/tex3] é [tex3]2 \pi[/tex3] ; o coeficiente [tex3]a[/tex3] na [tex3]f(x)[/tex3] vale [tex3]2[/tex3] . Portanto:

[tex3]P = \frac{2 \pi}{2} = \boxed{\pi}[/tex3]
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Problema 34

(ITA - 1990) Da das as funções [tex3]f(x) = \frac{1 + e^x}{1 - e^x}[/tex3] , [tex3]x \in \mathbb{R} - \{0\}[/tex3] e [tex3]g(x) = x\cdot \sen x[/tex3] , [tex3]x \in \mathbb{R}[/tex3] , podemos afirmar que:

a) ambas são pares
b) [tex3]f[/tex3] é par e [tex3]g[/tex3] é ímpar
c) [tex3]f[/tex3] é ímpar e [tex3]g[/tex3] é par
d) [tex3]f[/tex3] não é par e nem ímpar e [tex3]g[/tex3] é par
e) ambas são ímpares

Gabarito:

Resposta

c)

Agash · Mensagem não lida por **Agash** » 19 Ago 2011, 12:55

Solução Problema 34

[tex3]f(x) = \frac{1 + e^x}{1 - e^x}, x \in \mathbb{R} - \{0\}[/tex3] e [tex3]g(x) = x\cdot\sen x,\,x \in \mathbb{R}[/tex3] ,

Para [tex3]g(-x)[/tex3] :

[tex3]g(-x)=(-x)\cdot\sen(-x)=x\sen x=g(x) \rightarrow g[/tex3] é [tex3]par[/tex3]

Para [tex3]f(-x)[/tex3] :

[tex3]f(-x)=\frac{1+\frac{1}{e^x}}{1-\frac{1}{e^x}}= \frac{e^x +1}{e^x-1} = -f(x) \rightarrow f(x)[/tex3] é ímpar.
Letra C

Problema 35

(IME 1953/1954) Demonstrar que se os senos dos ângulos triângulo qualquer estão em progressão aritmética , o mesmo se dará com as cotangentes dos ângulos metade.

Mensagem não lidapor **poti** » 19 Ago 2011, 16:28 · Mensagem não lida por **poti** » 19 Ago 2011, 16:28

Solução do Problema 35

Relação Seno-Tangente: [tex3]\sen(x) = \frac{2\tg\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \tg^2 \left(\frac{x}{2}\right)}[/tex3] (I)

Fazendo: [tex3]\sen(a) = \sen(b) + r[/tex3] , [tex3]\sen(c) = \sen(b) - r[/tex3] ([tex3]r[/tex3] sendo a razão da PA)

Pela Lei dos Senos:

[tex3]\frac{a}{c} = \frac{\sen(b) + r}{\sen(b) - r}[/tex3]

Substituindo por (I):

[tex3]\frac{a}{c} = \frac{\frac{2\tg\left(\frac{b}{2}\right)}{1 + \tg^2 \left(\frac{b}{2}\right)} + r}{\frac{2\tg\left(\frac{b}{2}\right)}{1 + \tg^2 \left(\frac{b}{2}\right)} - r}[/tex3] (II)

Transformando [tex3]\tg[/tex3] em [tex3]\cotg[/tex3] em (I), temos:

[tex3]\frac{\frac{2}{\cotg\left(\frac{x}{2}\right)}}{1 + \frac{1}{\cotg^2 \left(\frac{x}{2}\right)}} = \frac{\frac{2}{\cotg\left(\frac{x}{2}\right)}}{\frac{1 + \cotg^2 \left(\frac{x}{2}\right)}{\cotg^2 (x)}} = \frac{2\cotg\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \cotg^2 \left(\frac{x}{2}\right)}[/tex3] (III)

Substituindo (III) em (II):

[tex3]\frac{a}{c} = \frac{\frac{2\cotg\left(\frac{b}{2}\right)}{1 + \cotg^2 \left(\frac{b}{2}\right)} + r}{\frac{2\cotg\left(\frac{b}{2}\right)}{1 + \cotg^2 \left(\frac{b}{2}\right)} - r}[/tex3]

[tex3]\frac{a}{c} = \frac{2\cotg\left(\frac{b}{2}\right) + r\left(1 + \cotg^2\left(\frac{b}{2}\right)\right)}{2\cotg\left(\frac{b}{2}\right) - r\left(1 + \cotg^2\left(\frac{b}{2}\right)\right)} \ \cdot\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}[/tex3]

[tex3]\frac{a}{c} = \frac{\cotg\left(\frac{b}{2}\right) + \frac{r}{2}\left(1 + \cotg^2\left(\frac{b}{2}\right)\right)}{\cotg\left(\frac{b}{2}\right) - \frac{r}{2}\left(1 + \cotg^2\left(\frac{b}{2}\right)\right)}[/tex3]

Fazendo: [tex3]r' = \frac{r}{2}\left(1 + \cotg^2\left(\frac{b}{2}\right)\right)[/tex3]

[tex3]\boxed{\frac{a}{c} = \frac{\cotg\left(\frac{b}{2}\right) + r'}{\cotg\left(\frac{b}{2}\right) - r'}}[/tex3] , cqd.

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Problema 36

(IME - 1986) Mostre que para todo [tex3]n[/tex3] maior ou igual a [tex3]2[/tex3] ,

[tex3]2^{\frac{5n}{4}} < \begin{pmatrix}
2n\\
n
\end{pmatrix}[/tex3]

Agash · Mensagem não lida por **Agash** » 20 Ago 2011, 16:32

Solução do Problema 36

Vamos provar por indução que [tex3]2^{\frac{5n}{4}} < \begin{pmatrix} 2n\\ n \end{pmatrix}[/tex3] :

Para n = 2 (verdade)

Supondo válido para n = k:
[tex3]2^{\frac{5k}{4}} < \begin{pmatrix} 2k\\ k \end{pmatrix}[/tex3] (hipótese de indução)

Provando que é válido para n = k+1:
[tex3]2^{\frac{5(k+1)}{4}} < \begin{pmatrix} 2k+2\\ k+1 \end{pmatrix}[/tex3]
[tex3]\leftrightarrow[/tex3] [tex3]2^{\frac{5k}{4}}\cdot 2^{\frac{5}{4}} < \begin{pmatrix} 2k\\ k \end{pmatrix}\cdot \frac{(2k+2)(2k+1)}{k+1}[/tex3]
Da hipótese de indução:
[tex3]\leftrightarrow 2^{\frac{5}{4}} < 4k+1 \leftrightarrow 2^{\frac{5}{4}}-1<k[/tex3] C.Q.D

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Problema 37

(IME 1971/1972) Demonstrar que um triangulo [tex3]ABC[/tex3] , qual os angulos [tex3]\hat{B}[/tex3] e [tex3]\hat{C}[/tex3] verificam a relação

[tex3]\frac{\sen^2\hat{B}}{\sen^2\hat{C}} = \frac{\tan\hat{B}}{\tan\hat{C}}[/tex3]

Mensagem não lidapor **poti** » 20 Ago 2011, 22:05 · Mensagem não lida por **poti** » 20 Ago 2011, 22:05

Solução do Problema 37

Questão sem sentido gramatical e matemático, por favor, preste atenção na hora de postar.

Contra-Prova:

[tex3]\angle B = 120[/tex3]
[tex3]\angle C = 45[/tex3]

[tex3]\frac{2}{3} \neq \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex3]

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Problema 38

(ITA - 1972) O volume do sólido gerado por um triângulo, que gira em torno de sua hipotenusa cujos catetos são [tex3]15cm[/tex3] e [tex3]20cm[/tex3] , é:

a) [tex3]1080 \pi cm^3[/tex3]
b) [tex3]960 cm^3[/tex3]
c) [tex3]1400 cm^3[/tex3]
d) [tex3]1600 \pi cm^3[/tex3]
e) [tex3]nda[/tex3]

Solução do Problema 38

Ao girarmos o triângulo teremos dois cone, cuja base será igual de raio [tex3]R=12\,cm[/tex3] e as alturas serão 9,16cm. Assim temos:
[tex3]V_{c_1}=\frac{\pi (12)^2.9}{3}=432\pi \,cm^3[/tex3]

[tex3]V_{c_1}=\frac{\pi (12)^2.16}{3}=768\pi \,cm^3[/tex3]

Logo,
[tex3]\boxed{V_t=1200\pi \,cm^3}[/tex3] . Letra E

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Problema 39

(ITA - 1971) Qual o resto da divisão por 3 do determinante:
[tex3]\left|\begin{array}{cccc} 4 & 1 & 3 & 6 \\ (3-4) & (6-1) & (-3-5) & (9+6) \\ 5 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \end{array}\right|[/tex3]

a) 0
b) 3
c) 7
d) 1
e) N.R.A

Resposta

Gabarito: e

Mensagem não lidapor **Natan** » 21 Ago 2011, 18:53 · Mensagem não lida por **Natan** » 21 Ago 2011, 18:53

Solução do problema 39 Proposto por Filipe

Reescrevendo
[tex3]\left|\begin{array}{cccc} 4 & 1 & 3 & 6 \\ 3 & 6 & -3 & 9 \\ 5 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc} 4 & 1 & 3 & 6 \\ -4 & -1 & -5 & 6 \\ 5 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \end{array}\right|[/tex3]

O primeiro determinante claramente é divisível por [tex3]3[/tex3] , pois a segunda linha é múltiplo de [tex3]3[/tex3] . Sendo assim, nos resta calcular o segundo determinante.

Usando Chio em [tex3]a_{12}[/tex3] ,
[tex3]\left|\begin{array}{cccc} 4 & 1 & 3 & 6 \\ -4 & -1 & -5 & 6 \\ 5 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc} -4-(-4) & -5-(3) & 6-(-6) \\ 5-(4) & 2-(3) & 3-(6) \\ 1-(4) & 2-(3) & 5-(6) \end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc} 0 & -2 & 12 \\ 1 & -1 & -3 \\ -3 & -1 & -1 \end{array}\right|=68[/tex3]

O resto da divisão por [tex3]3[/tex3] vale [tex3]2[/tex3] . Letra E

.............................................................................................................

Problema 40

(ITA-2007) Assinale a alternativa que corresponde ao módulo do número complexo:

[tex3]z=\frac{1}{1+i\cdot\text{cotg}(x)},\, x \neq k{\pi},\, k\, \in\, \mathbb{Z}.[/tex3]

A) [tex3]\cos(x)|[/tex3]
B) [tex3]\frac{1+\text{sen}(x)}{2}[/tex3]
C) [tex3]\cos^2(x)[/tex3]
D) [tex3]|\text{cossec}(x)|[/tex3]
E) [tex3]|\text{sen}(x)|[/tex3]

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