Professor escreveu: ↑09 Nov 2020, 15:18
Seja [tex3]T:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3[/tex3]
dada por [tex3]T(x,y,z)=(x+y,x-2y,z)[/tex3]
e [tex3]S=\{(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1) \}[/tex3]
e [tex3]R=\{(1,1,0),(1,-2,0),(0,0,1)\}[/tex3]
bases do [tex3]\mathbb{R}^{3}[/tex3]
, encontre:
[tex3][T]^S_R[/tex3]
.
Uma solução:
Como T é uma T.L. de IR³ em IR³ , [tex3][T]^S_R[/tex3]
é uma matriz 3×3 , digamos
[tex3][T]^S_R = \left[ \begin{array}{rrcccrr}
a_{11} &&& a_{12} && a_{13} \\
a_{21} &&& a_{22} && a_{23}\\
a_{31} &&& a_{32} && a_{33}
\end{array} \right][/tex3]
.
Pelo que foi estudado ( explicado pelo seu professor, acredito eu tenha sido ) , [tex3]a_{11} \ , \ a_{21} \ e \ a_{31}[/tex3]
são as coordenadas de T( 1 , 0 , 0 ) na base R ; [tex3]a_{12} \ , \ a_{22} \ e \ a_{32}[/tex3]
são as coordenadas de T( 0 , 1 , 0 ) na base R e [tex3]a_{13} \ , \ a_{23} \ e \ a_{33}[/tex3]
são as coordenadas de T( 0 , 0 , 1 ) na base R , ou seja , devemos calcular T nos elementos da base S, temos:
[tex3]T(1,0,0)=(1,1,0)=a_{11}.(1,1,0) \ + \ a_{21}.(1,-2,0) \ + \ a_{31}.(0,0,1)[/tex3]
;
[tex3]T(0,1,0)=(1,-2,0)=a_{12}.(1,1,0) \ + \ a_{22}.(1,-2,0) \ + \ a_{32}.(0,0,1)[/tex3]
e
[tex3]T(0,0,1)=(0,0,1)=a_{13}.(1,1,0) \ + \ a_{23}.(1,-2,0) \ + \ a_{33}.(0,0,1)[/tex3]
.
Equivalentemente,
[tex3]\begin{cases}
a_{11} \ + \ a_{21} = 1 \\
a_{11} \ - \ 2a_{21} = 1 \\
a_{31} = 0
\end{cases} ; [/tex3]
[tex3]\begin{cases}
a_{12} \ + \ a_{22} = 1 \\
a_{12} \ - \ 2a_{22} = - \ 2 \\
a_{32} = 0
\end{cases} \ \ e [/tex3]
[tex3]\begin{cases}
a_{13} \ + \ a_{23} = 0 \\
a_{13} \ - \ 2a_{23} = 0 \\
a_{33} = 1
\end{cases} [/tex3]
Resolvendo os
sistemas lineares acima, obtemos
[tex3]a_{11} = 1 \ , \ a_{21} = 0 \ , \ a_{31} = 0[/tex3]
, [tex3]a_{12} = 0 \ , \ a_{22} = 1 \ , \ a_{32} = 0[/tex3]
, [tex3]a_{13} = 0\ , \ a_{23} = 0 \ e \ a_{33} = 1[/tex3]
.
Portanto, obtemos
[tex3][T]^S_R = \left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& 0 && 0 \\
0 &&& 1 && 0 \\
0 &&& 0 && 1
\end{array} \right][/tex3]
.
Obs.1
[tex3][T]^S_R[/tex3] é chamada matriz de T em relação às bases S e R.
.
Obs.2
Alguns ( pouquíssimos ) livros ou apostilas , usam a seguinte notação: ( T )[tex3]_{S,R}[/tex3]
Excelente estudo!