Ensino Médio ⇒ Menor caminho Tópico resolvido

[andrezza]

O conhecimento matemático, além de impulsionar e promover o desenvolvimento tecnológico da humanidade, possibilita tomar decisões simples de uma forma mais inteligente. Suponha que você esteja em uma casa que dista 50 metros de um rio. Seu amigo, que está distante de você 130 metros e distante do rio 100 metros, impossibilitado de sair de casa, pede que você leve água para ele. Andando em linha reta em direção ao rio, você enche um balde com água e, novamente em linha reta, você vai até a casa de seu amigo. O percurso de menor caminho possível nessas condições tem comprimento, em metros, aproximadamente igual a
Dado: [tex3]\sqrt{41}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{41}[/tex3]

= 6,4.
A 180.
B 190.
C 200.
D 210.
E 220.

Resposta

---

B

[lookez]

Veja se não digitou nada de errado no enunciado, pois para mim o dado necessário é [tex3]\sqrt{61}[/tex3]

EDIT: Raciocínio incorreto, veja a solução abaixo.

[andrezza]

lookez, Foi dado [tex3]\sqrt{41}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{41}[/tex3]

mesmo.

[csmarcelo]

lookez, você determinou que o trajeto da sua casa até o rio é perpendicular, o que não é uma verdade se queremos o menor percurso.

[lookez]

lookez, você determinou que o trajeto da sua casa até o rio é perpendicular, o que não é uma verdade se queremos o menor percurso.

Tem razão, li o enunciado sem atenção enquanto estava no cursinho e interpretei "em linha reta" como perpendicular, obrigado mestre. Segue a resolução correta:

diag.png (27.16 KiB) Exibido 1287 vezes

Obtemos a medida [tex3]\overline{PQ}=120[/tex3]

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[tex3]\overline{PQ}=120[/tex3]

"arrastando" ela paralelamente até o ponto C e fazendo pitágoras, pois ACPQ é um trapézio retângulo.

O trajeto CBA será mínimo quando os triângulos [tex3]\triangle CBP[/tex3]

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[tex3]\triangle CBP[/tex3]

e [tex3]\triangle ABQ[/tex3]

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[tex3]\triangle ABQ[/tex3]

forem semelhantes, então por semelhança encontramos x: [tex3]\frac{x}{50}=\frac{120-x}{100}\rightarrow x=40[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{50}=\frac{120-x}{100}\rightarrow x=40[/tex3]

Agora encontramos [tex3]\overline{CB}[/tex3]

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[tex3]\overline{CB}[/tex3]

por pitágoras: [tex3](\overline{CB})^2=50^2+40^2\rightarrow\overline{CB}=10\sqrt{41}[/tex3]

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[tex3](\overline{CB})^2=50^2+40^2\rightarrow\overline{CB}=10\sqrt{41}[/tex3]

Por semelhança ou outro pitágoras temos que [tex3]\overline{AB} = 20\sqrt{41}[/tex3]

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[tex3]\overline{AB} = 20\sqrt{41}[/tex3]

, então o trajeto total é [tex3]\boxed{30\sqrt{41}\approx192}[/tex3]

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[tex3]\boxed{30\sqrt{41}\approx192}[/tex3]