Ensino Superior ⇒ integral frações parciais Tópico resolvido

[thetruth]

alguém poderia me ajudar com essa integral?

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^2+3}{x^2-9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^2+3}{x^2-9}[/tex3]

[thetruth]

cheguei no resultado de x+2ln|x+3| - 2 ln|x-3|, alguém poderia confirmar?

[Cardoso1979]

Você inverteu os valores aí...


Vou sair, daqui a pouco retorno...

[thetruth]

Você inverteu os valores aí...


Vou sair, daqui a pouco retorno...

eu inverti sim, mas já corrigi e cheguei no resultado correto.

[Cardoso1979]

eu inverti sim, mas já corrigi e cheguei no resultado correto.

Então blz , de qualquer forma deixarei algumas dicas de como resolver esta integral, servirá para futuras pesquisas.


Como o grau do numerador é igual ao do denominador, então devemos extrair os inteiros, temos:



x² + 3....|__ x² - 9__
-x² + 9.........1
------------
......12


Assim,

[tex3]\frac{x^2+3}{x^2-9}=1+\frac{12}{x^2-9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x^2+3}{x^2-9}=1+\frac{12}{x^2-9}[/tex3]

Daí;

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^2+3}{x^2-9}dx=\int\limits_{}^{}dx+\int\limits_{}^{}\frac{12}{x^2-9}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^2+3}{x^2-9}dx=\int\limits_{}^{}dx+\int\limits_{}^{}\frac{12}{x^2-9}dx[/tex3]

Obs.1 A integral de 1 é x.


Obs.2 A integral de [tex3]\frac{12}{x^2-9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{12}{x^2-9}[/tex3]

você procederá assim:

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{12}{(x-3).(x+3)}dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{12}{(x-3).(x+3)}dx=[/tex3]

E daí;

[tex3]\frac{12}{(x-3).(x+3)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{12}{(x-3).(x+3)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3}[/tex3]

Desenvolvendo você irá encontrar A = 2 e B = - 2.


E portanto, teremos como resposta final:

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^2+3}{x^2-9}dx=x+2ln|x-3|-2ln|x+3|+C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^2+3}{x^2-9}dx=x+2ln|x-3|-2ln|x+3|+C[/tex3]

Bons estudos!

[thetruth]

eu inverti sim, mas já corrigi e cheguei no resultado correto.

Então blz , de qualquer forma deixarei algumas dicas de como resolver esta integral, servirá para futuras pesquisas.


Como o grau do numerador é igual ao do denominador, então devemos extrair os inteiros, temos:



x² + 3....|__ x² - 9__
-x² + 9.........1
------------
......12


Assim,

[tex3]\frac{x^2+3}{x^2-9}=1+\frac{12}{x^2-9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x^2+3}{x^2-9}=1+\frac{12}{x^2-9}[/tex3]

Daí;

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^2+3}{x^2-9}dx=\int\limits_{}^{}dx+\int\limits_{}^{}\frac{12}{x^2-9}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^2+3}{x^2-9}dx=\int\limits_{}^{}dx+\int\limits_{}^{}\frac{12}{x^2-9}dx[/tex3]

Obs.1 A integral de 1 é x.


Obs.2 A integral de [tex3]\frac{12}{x^2-9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{12}{x^2-9}[/tex3]

você procederá assim:

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{12}{(x-3).(x+3)}dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{12}{(x-3).(x+3)}dx=[/tex3]

E daí;

[tex3]\frac{12}{(x-3).(x+3)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{12}{(x-3).(x+3)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3}[/tex3]

Desenvolvendo você irá encontrar A = 2 e B = - 2.


E portanto, teremos como resposta final:

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^2+3}{x^2-9}dx=x+2ln|x-3|-2ln|x+3|+C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^2+3}{x^2-9}dx=x+2ln|x-3|-2ln|x+3|+C[/tex3]

Bons estudos!

valeu, você poderia me tirar uma dúvida lá no meu outro tópico de volume de sólidos de revolução?

[Cardoso1979]

eu inverti sim, mas já corrigi e cheguei no resultado correto.

Então blz , de qualquer forma deixarei algumas dicas de como resolver esta integral, servirá para futuras pesquisas.


Como o grau do numerador é igual ao do denominador, então devemos extrair os inteiros, temos:



x² + 3....|__ x² - 9__
-x² + 9.........1
------------
......12


Assim,

[tex3]\frac{x^2+3}{x^2-9}=1+\frac{12}{x^2-9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x^2+3}{x^2-9}=1+\frac{12}{x^2-9}[/tex3]

Daí;

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^2+3}{x^2-9}dx=\int\limits_{}^{}dx+\int\limits_{}^{}\frac{12}{x^2-9}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^2+3}{x^2-9}dx=\int\limits_{}^{}dx+\int\limits_{}^{}\frac{12}{x^2-9}dx[/tex3]

Obs.1 A integral de 1 é x.


Obs.2 A integral de [tex3]\frac{12}{x^2-9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{12}{x^2-9}[/tex3]

você procederá assim:

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{12}{(x-3).(x+3)}dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{12}{(x-3).(x+3)}dx=[/tex3]

E daí;

[tex3]\frac{12}{(x-3).(x+3)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{12}{(x-3).(x+3)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3}[/tex3]

Desenvolvendo você irá encontrar A = 2 e B = - 2.


E portanto, teremos como resposta final:

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^2+3}{x^2-9}dx=x+2ln|x-3|-2ln|x+3|+C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x^2+3}{x^2-9}dx=x+2ln|x-3|-2ln|x+3|+C[/tex3]

Bons estudos!

valeu, você poderia me tirar uma dúvida lá no meu outro tópico de volume de sólidos de revolução?

Ok, já respondi lá