Em um vértice de um poliedro convexo concorrem 4 arestas que medem 3 cm. O volume do sólido convexo cujos vértices são os centros das faces de tal
poliedro mede, em [tex3]\text{cm}^3,[/tex3]
[tex3]\text{a)}\,2\sqrt 2 \hspace{40}\text{b)}\,27 \hspace{40}\text{c)}\,\Large\frac{27\sqrt2}{32}\large \hspace{40}\text{d)}\,\Large\frac{3\sqrt6}{4}\large \hspace{40}\text{e)}\,162\sqrt2[/tex3]
IME / ITA ⇒ (EN - 1985) Geometria Espacial: Octaedro Regular e Cubo Tópico resolvido
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Mai 2007
05
16:18
(EN - 1985) Geometria Espacial: Octaedro Regular e Cubo
Editado pela última vez por mvgcsdf em 05 Mai 2007, 16:18, em um total de 1 vez.
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06
23:19
Re: (EN - 1985) Geometria Espacial: Octaedro Regular e Cubo
Olá mvgcsdf,
Do fato de ter quatro arestas concorrendo a cada vértice do poliedro, podemos tirar duas conclusões para a resolução da questão.
Sendo [tex3]V[/tex3] o número de vértices, se multiplicarmos por 4 teremos a quantidade de arestas que partem de todos os vértices. Mas cada aresta parte de dois vértices, portanto:
[tex3]A=\frac{4V}{2}[/tex3]
(1) [tex3]A=2V[/tex3]
Digamos que cada face deste poliedro possua n lados. Sabemos que cada aresta pertence a duas faces adjacentes, portanto, o dobro da quantidade A de arestas nos dá a quantidade de lados dos polígonos das faces. Dividindo esta quantidade por n teremos a quantidade de faces:
(2) [tex3]F=\frac{2A}{n}[/tex3]
Substituindo (1) em (2) temos:
(3) [tex3]F=\frac{4V}{n}[/tex3]
Da fórmula de Euler temos que
(3) [tex3]V+F=A+2[/tex3]
Substituindo (1) e (3) em (4):
[tex3]V+\frac{4V}{n}=2V+2[/tex3]
[tex3]V=\frac{2n}{4-n}[/tex3]
Note que o único valor possível de [tex3]n[/tex3] , nesta situação, é [tex3]n=3[/tex3] . Pois [tex3]n=1[/tex3] ou [tex3]2[/tex3] não há face poligonal, [tex3]n=4[/tex3] divide por ZERO e [tex3]n\gt 4[/tex3] resulta [tex3]V\lt 0[/tex3]
Assim descobrimos que o poliedro possui faces triangulares, 6 vértices, 8 faces e 12 arestas. Ou seja, é um octaedro regular.
Agora será que você consegue terminar sozinho? Acredito que a parte mais difícil seja esta (não que o restante seja fácil, pelo contrário).
Qualquer dúvida, poste aqui mesmo.
Do fato de ter quatro arestas concorrendo a cada vértice do poliedro, podemos tirar duas conclusões para a resolução da questão.
Sendo [tex3]V[/tex3] o número de vértices, se multiplicarmos por 4 teremos a quantidade de arestas que partem de todos os vértices. Mas cada aresta parte de dois vértices, portanto:
[tex3]A=\frac{4V}{2}[/tex3]
(1) [tex3]A=2V[/tex3]
Digamos que cada face deste poliedro possua n lados. Sabemos que cada aresta pertence a duas faces adjacentes, portanto, o dobro da quantidade A de arestas nos dá a quantidade de lados dos polígonos das faces. Dividindo esta quantidade por n teremos a quantidade de faces:
(2) [tex3]F=\frac{2A}{n}[/tex3]
Substituindo (1) em (2) temos:
(3) [tex3]F=\frac{4V}{n}[/tex3]
Da fórmula de Euler temos que
(3) [tex3]V+F=A+2[/tex3]
Substituindo (1) e (3) em (4):
[tex3]V+\frac{4V}{n}=2V+2[/tex3]
[tex3]V=\frac{2n}{4-n}[/tex3]
Note que o único valor possível de [tex3]n[/tex3] , nesta situação, é [tex3]n=3[/tex3] . Pois [tex3]n=1[/tex3] ou [tex3]2[/tex3] não há face poligonal, [tex3]n=4[/tex3] divide por ZERO e [tex3]n\gt 4[/tex3] resulta [tex3]V\lt 0[/tex3]
Assim descobrimos que o poliedro possui faces triangulares, 6 vértices, 8 faces e 12 arestas. Ou seja, é um octaedro regular.
Agora será que você consegue terminar sozinho? Acredito que a parte mais difícil seja esta (não que o restante seja fácil, pelo contrário).
Qualquer dúvida, poste aqui mesmo.
Editado pela última vez por caju em 06 Mai 2007, 23:19, em um total de 1 vez.
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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Mai 2007
08
10:12
Re: (EN - 1985) Geometria Espacial: Octaedro Regular e Cubo
Grande Caju! Obrigado pela força.
Seria agora o caso de somente calcular o volume do octaedro regular?
Seria agora o caso de somente calcular o volume do octaedro regular?
Editado pela última vez por mvgcsdf em 08 Mai 2007, 10:12, em um total de 1 vez.
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08
10:42
Re: (EN - 1985) Geometria Espacial: Octaedro Regular e Cubo
Olá mvgcsdf,
É pedido o volume do sólido convexo cujos vértices são os centros das faces do octaedro.
Se você fizer um desenho, verá que é um cubo. Veja a tentativa de desenho da situação que eu fiz no Paint...
Tente agora. Qualquer coisa, poste aqui.
É pedido o volume do sólido convexo cujos vértices são os centros das faces do octaedro.
Se você fizer um desenho, verá que é um cubo. Veja a tentativa de desenho da situação que eu fiz no Paint...
Tente agora. Qualquer coisa, poste aqui.
Editado pela última vez por caju em 08 Mai 2007, 10:42, em um total de 1 vez.
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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