Resposta
[tex3]\frac{3(m_a^2+m_b^2+m_c^2)}{4}[/tex3]
Olimpíadas ⇒ Geometria - Problema 4 Tópico resolvido
-
jvmago
- Mensagens: 2746
- Registrado em: 06 Jul 2017, 14:54
- Última visita: 27-05-24
- Agradeceu: 380 vezes
- Agradeceram: 1020 vezes
Dez 2018
02
12:31
Geometria - Problema 4
As distancias do baricentro [tex3]G[/tex3]
aos vértices de um triangulo ABC valem [tex3]m_a,m_b,m_c[/tex3]
determine [tex3]AB^2+BC^2+AC^2[/tex3]
[tex3]\frac{3(m_a^2+m_b^2+m_c^2)}{4}[/tex3]
[tex3]\frac{3(m_a^2+m_b^2+m_c^2)}{4}[/tex3]
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
-
AndreBRasera
- Mensagens: 88
- Registrado em: 26 Out 2017, 18:10
- Última visita: 02-08-20
- Agradeceu: 23 vezes
- Agradeceram: 54 vezes
Dez 2018
03
20:10
Re: Geometria - Problema 4
E aí, parceiro, bão?
Dá pra resolver por geometria analítica:
O baricentro é definido como a média aritmética dos pontos que definem o polígono. No caso no triângulo,
[tex3]G = \left ( \frac{x_A + x_B + x_C}{3} , \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right )[/tex3]
Sendo cada uma dessas variáveis as coordenadas dos pontos do triângulo. Pra podermos provar o que o enunciado pede, vou escolher o caso mais simples:
O ponto A é definido por [tex3]\left ( 0, y_A \right )[/tex3]
, o ponto B é definido por [tex3]\left ( 0 ,0 \right )[/tex3]
e o ponto C é definido por [tex3]\left ( x_C, 0 \right )[/tex3]
.
Daí, [tex3]AB = y_A[/tex3] , [tex3]BC = x_C[/tex3] , [tex3]AC = \sqrt{x_C^2 + y_A^2}[/tex3]
A partir disso, [tex3]G = \left ( \frac{x_C}{3} , \frac{y_A}{3} \right )[/tex3]
Temos, então, que [tex3]AB^2 + BC^2 + AC^2 = 2y_A^2 + 2x_C^2[/tex3]
Logo, [tex3]\begin{cases}
(x_C - x_G)^2 + y_G^2 = m_C^2 \\
x_G^2 + y_G^2 = m_B^2 \\
x_G^2 + (y_A - y_G)^2 = m_A^2
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
\left ( x_C - \frac{x_C}{3} \right )^2 + \left ( \frac{y_A}{3} \right )^2 = m_C^2 \\
\left ( \frac{x_C}{3} \right )^2 + \left ( \frac{y_A}{3} \right )^2 = m_B^2 \\
\left ( \frac{x_C}{3} \right )^2 + \left ( y_A - \frac{y_A}{3} \right )^2 = m_A^2
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
\frac{4x_C^2}{9} + \frac{y_A^2}{9} = m_C^2 \\
\frac{x_C^2}{9} + \frac{y_A^2}{9} = m_B^2 \\
\frac{x_C^2}{9} + \frac{4y_A^2}{9} = m_A^2
\end{cases}[/tex3]
Somemos tudo mundo então:
[tex3]\begin{cases}
\frac{6x_C^2}{9} + \frac{6y_A^2}{9} = m_C^2 + m_B^2 + m_A^2
\end{cases}[/tex3]
Multipliquemos todo mundo por [tex3]3[/tex3] :
[tex3]\begin{cases}
2x_C + 2y_A^2 = 3 \left ( m_C^2 + m_B^2 + m_A^2 \right )
\end{cases}[/tex3]
Pqp, deu ruim uahauhauhau.
Devo ter errado a conta, mas eu acho que o raciocínio é válido hauhauha.
Dá pra resolver por geometria analítica:
O baricentro é definido como a média aritmética dos pontos que definem o polígono. No caso no triângulo,
[tex3]G = \left ( \frac{x_A + x_B + x_C}{3} , \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right )[/tex3]
Sendo cada uma dessas variáveis as coordenadas dos pontos do triângulo. Pra podermos provar o que o enunciado pede, vou escolher o caso mais simples:
- Imagem2.png (27.08 KiB) Exibido 1702 vezes
Daí, [tex3]AB = y_A[/tex3] , [tex3]BC = x_C[/tex3] , [tex3]AC = \sqrt{x_C^2 + y_A^2}[/tex3]
A partir disso, [tex3]G = \left ( \frac{x_C}{3} , \frac{y_A}{3} \right )[/tex3]
Temos, então, que [tex3]AB^2 + BC^2 + AC^2 = 2y_A^2 + 2x_C^2[/tex3]
- Imagem3.png (25.81 KiB) Exibido 1702 vezes
(x_C - x_G)^2 + y_G^2 = m_C^2 \\
x_G^2 + y_G^2 = m_B^2 \\
x_G^2 + (y_A - y_G)^2 = m_A^2
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
\left ( x_C - \frac{x_C}{3} \right )^2 + \left ( \frac{y_A}{3} \right )^2 = m_C^2 \\
\left ( \frac{x_C}{3} \right )^2 + \left ( \frac{y_A}{3} \right )^2 = m_B^2 \\
\left ( \frac{x_C}{3} \right )^2 + \left ( y_A - \frac{y_A}{3} \right )^2 = m_A^2
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
\frac{4x_C^2}{9} + \frac{y_A^2}{9} = m_C^2 \\
\frac{x_C^2}{9} + \frac{y_A^2}{9} = m_B^2 \\
\frac{x_C^2}{9} + \frac{4y_A^2}{9} = m_A^2
\end{cases}[/tex3]
Somemos tudo mundo então:
[tex3]\begin{cases}
\frac{6x_C^2}{9} + \frac{6y_A^2}{9} = m_C^2 + m_B^2 + m_A^2
\end{cases}[/tex3]
Multipliquemos todo mundo por [tex3]3[/tex3] :
[tex3]\begin{cases}
2x_C + 2y_A^2 = 3 \left ( m_C^2 + m_B^2 + m_A^2 \right )
\end{cases}[/tex3]
Pqp, deu ruim uahauhauhau.
Devo ter errado a conta, mas eu acho que o raciocínio é válido hauhauha.
-
jvmago
- Mensagens: 2746
- Registrado em: 06 Jul 2017, 14:54
- Última visita: 27-05-24
- Agradeceu: 380 vezes
- Agradeceram: 1020 vezes
Dez 2018
03
20:14
Re: Geometria - Problema 4
LOOOOOOOOOOL geometria analítica me dá mó medão mas, a sacada foi ótima!! ja estava postando aqui!!! Outro detalhe é que eu, um animal, escrevi o gabarito erradoAndreBRasera escreveu: ↑03 Dez 2018, 20:10 E aí, parceiro, bão?
Dá pra resolver por geometria analítica:
O baricentro é definido como a média aritmética dos pontos que definem o polígono. No caso no triângulo,
[tex3]G = \left ( \frac{x_A + x_B + x_C}{3} , \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right )[/tex3]
Sendo cada uma dessas variáveis as coordenadas dos pontos do triângulo. Pra podermos provar o que o enunciado pede, vou escolher o caso mais simples:
Imagem2.png
O ponto A é definido por [tex3]\left ( 0, y_A \right )[/tex3] , o ponto B é definido por [tex3]\left ( 0 ,0 \right )[/tex3] e o ponto C é definido por [tex3]\left ( x_C, 0 \right )[/tex3] .
Daí, [tex3]AB = y_A[/tex3] , [tex3]BC = x_C[/tex3] , [tex3]AC = \sqrt{x_C^2 + y_A^2}[/tex3]
A partir disso, [tex3]G = \left ( \frac{x_C}{3} , \frac{y_A}{3} \right )[/tex3]
Temos, então, que [tex3]AB^2 + BC^2 + AC^2 = 2y_A^2 + 2x_C^2[/tex3]
Imagem3.png
Logo, [tex3]\begin{cases}
(x_C - x_G)^2 + y_G^2 = m_C^2 \\
x_G^2 + y_G^2 = m_B^2 \\
x_G^2 + (y_A - y_G)^2 = m_A^2
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
\left ( x_C - \frac{x_C}{3} \right )^2 + \left ( \frac{y_A}{3} \right )^2 = m_C^2 \\
\left ( \frac{x_C}{3} \right )^2 + \left ( \frac{y_A}{3} \right )^2 = m_B^2 \\
\left ( \frac{x_C}{3} \right )^2 + \left ( y_A - \frac{y_A}{3} \right )^2 = m_A^2
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
\frac{4x_C^2}{9} + \frac{y_A^2}{9} = m_C^2 \\
\frac{x_C^2}{9} + \frac{y_A^2}{9} = m_B^2 \\
\frac{x_C^2}{9} + \frac{4y_A^2}{9} = m_A^2
\end{cases}[/tex3]
Somemos tudo mundo então:
[tex3]\begin{cases}
\frac{6x_C^2}{9} + \frac{6y_A^2}{9} = m_C^2 + m_B^2 + m_A^2
\end{cases}[/tex3]
Multipliquemos todo mundo por [tex3]3[/tex3] :
[tex3]\begin{cases}
2x_C + 2y_A^2 = 3 \left ( m_C^2 + m_B^2 + m_A^2 \right )
\end{cases}[/tex3]
Pqp, deu ruim uahauhauhau.
Devo ter errado a conta, mas eu acho que o raciocínio é válido hauhauha.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
-
jvmago
- Mensagens: 2746
- Registrado em: 06 Jul 2017, 14:54
- Última visita: 27-05-24
- Agradeceu: 380 vezes
- Agradeceram: 1020 vezes
Dez 2018
03
20:15
Re: Geometria - Problema 4
Essa é mais uma brincadeira de medianas !
Sejam [tex3]M,N,P[/tex3] pontos sobre os lados [tex3]AB,BC,AC[/tex3] temos pela relação do baricentro que:
[tex3]GM=\frac{m_a}{2}[/tex3] , [tex3]GN=\frac{m_b}{2}[/tex3] e [tex3]GP=\frac{m_c}{2}[/tex3] e portanto:
[tex3]AM=\frac{3m_a}{2}[/tex3] [tex3]BN=\frac{3m_b}{2}[/tex3] e [tex3]CP=\frac{3m_c}{2}[/tex3]
Agora é aplicar o teorema das mediana 3 vezes em cada uma das bases:
[tex3]\frac{9m_a^2}{4}=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}[/tex3]
[tex3]9m_a^2=2AB^2+2AC^2-BC^2[/tex3] (1)
Fazendo de maneira análoga em todos teremos:
[tex3]9m_b^2=2AB^2+BC^2-AC^2[/tex3] (2) e [tex3]9m_c^2=2BC^2+2AC^2-AB^2[/tex3] (3)
somando as 3 equações
[tex3]9(m_a^2+m_b^2+m_c^2)=3AB^2+3BC^2+3AC^2[/tex3]
[tex3]3(m_a^2+m_b^2+m_c^2)=AB^2+BC^2+AC^2[/tex3]
Sejam [tex3]M,N,P[/tex3] pontos sobre os lados [tex3]AB,BC,AC[/tex3] temos pela relação do baricentro que:
[tex3]GM=\frac{m_a}{2}[/tex3] , [tex3]GN=\frac{m_b}{2}[/tex3] e [tex3]GP=\frac{m_c}{2}[/tex3] e portanto:
[tex3]AM=\frac{3m_a}{2}[/tex3] [tex3]BN=\frac{3m_b}{2}[/tex3] e [tex3]CP=\frac{3m_c}{2}[/tex3]
Agora é aplicar o teorema das mediana 3 vezes em cada uma das bases:
[tex3]\frac{9m_a^2}{4}=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}[/tex3]
[tex3]9m_a^2=2AB^2+2AC^2-BC^2[/tex3] (1)
Fazendo de maneira análoga em todos teremos:
[tex3]9m_b^2=2AB^2+BC^2-AC^2[/tex3] (2) e [tex3]9m_c^2=2BC^2+2AC^2-AB^2[/tex3] (3)
somando as 3 equações
[tex3]9(m_a^2+m_b^2+m_c^2)=3AB^2+3BC^2+3AC^2[/tex3]
[tex3]3(m_a^2+m_b^2+m_c^2)=AB^2+BC^2+AC^2[/tex3]
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
-
jvmago
- Mensagens: 2746
- Registrado em: 06 Jul 2017, 14:54
- Última visita: 27-05-24
- Agradeceu: 380 vezes
- Agradeceram: 1020 vezes
Dez 2018
03
20:16
Re: Geometria - Problema 4
Perdoai pelo erro do gabarito ><
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
-
AndreBRasera
- Mensagens: 88
- Registrado em: 26 Out 2017, 18:10
- Última visita: 02-08-20
- Agradeceu: 23 vezes
- Agradeceram: 54 vezes
Dez 2018
03
20:22
Re: Geometria - Problema 4
Tranquilo, parceiro hahaha, é nóis! Bonita sua resolução hein...
Eu fui em analítica pq resolve tudo mesmo auhauhauha, só que saíram umas contas cabulosas. Aí eu simplifiquei o caso do triângulo e ficou mais rápido hahaha. Falou man
Eu fui em analítica pq resolve tudo mesmo auhauhauha, só que saíram umas contas cabulosas. Aí eu simplifiquei o caso do triângulo e ficou mais rápido hahaha. Falou man
-
- Tópicos Semelhantes
- Resp.
- Exibições
- Últ. msg
