Olimpíadas

Mensagem não lidapor **jvmago** » 30 Nov 2018, 19:43 · Mensagem não lida por **jvmago** » 30 Nov 2018, 19:43

A partir de um quadrado [tex3]ABCD[/tex3] constroi-se um outro quadrado menor [tex3]AEFG[/tex3] tal que os pontos [tex3]G[/tex3] e [tex3]F[/tex3] sejam internos ao quadrado maior e [tex3]E[/tex3] externo. Se [tex3]DG=\sqrt{2}[/tex3] e [tex3]FC>DG[/tex3] determine [tex3]FC[/tex3]

Resposta

[tex3]2[/tex3]

Mensagem não lidapor **jvmago** » 30 Nov 2018, 20:25 · Mensagem não lida por **jvmago** » 30 Nov 2018, 20:25

eita faltou um detalhe importantíssimo

Mensagem não lidapor **jvmago** » 01 Dez 2018, 11:55 · Mensagem não lida por **jvmago** » 01 Dez 2018, 11:55

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[tex3]\angle DAG = 45 - \angle CAG = \angle FAC[/tex3]

[tex3]\frac{AC}{AD} = \sqrt 2 = \frac{AF}{AG}[/tex3]

logo [tex3]\Delta ADG \sim \Delta ACF[/tex3] por [tex3]LAL[/tex3]

então
[tex3]FC = \sqrt 2 \cdot DG = 2[/tex3]

Mensagem não lidapor **jvmago** » 02 Dez 2018, 12:03 · Mensagem não lida por **jvmago** » 02 Dez 2018, 12:03

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Fiz por construção!

Traçando essas 3 perpendiculares fica fácil ver que pelo caso [tex3]LAA_O[/tex3] que os [tex3]\Delta BME[/tex3] e [tex3]\Delta FEN[/tex3] são congrentes ou seja [tex3]FN=ME[/tex3] e [tex3]EN=BM[/tex3] , isso será muito importante.

Temos por pitágoras que [tex3]2= ME^2+AM^2[/tex3] e [tex3]FD^2=FK^2+FD^2[/tex3]

Repare agora que [tex3]FD=MA+FN=MA+ME[/tex3] que ja é um coisa legal!
Note também que [tex3]FK=AD-ME-EN[/tex3] só que [tex3]AD=BM+MA[/tex3] então:
[tex3]FK=BM+MA-ME-EN[/tex3] sabemos também que [tex3]EN=BM[/tex3]
[tex3]FK=MA-ME[/tex3]

Por tio pit [tex3]FD^2=FK^2+FD^2[/tex3]
[tex3]FK^2=(MA-ME)^2+(MA+ME)^2[/tex3]
[tex3]FK^2=2(MA^2+ME^2)[/tex3] e [tex3]MA^2+ME^2=2[/tex3]
[tex3]FK^2=2*2=2[/tex3]

Dessa forma é possível enunciar o teorema: Dados dois pontos internos a um quadrado, a distancia do ponto mais comprido sempre será [tex3]\sqrt{2}[/tex3] maior que a menor distancia.

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