Vou fazer de um modo mais geral, supondo que há a presença da pressão atmosférica. Para o caso do exercício, basta tomar [tex3]p_0 = 0[/tex3]
.
Inicialmente, veja que a bolinha está em equilíbrio, de forma que:
[tex3]mg + p_0 (\pi a^2 ) = p (\pi a^2) \therefore p = p_0 + \frac{mg}{\pi a^2}[/tex3]
onde [tex3]\pi a^2[/tex3]
representa a área transversal da bolinha.
Quando a bolinha é movida da posição [tex3]x = 0[/tex3]
até [tex3]x[/tex3]
segue que o volume diminui de [tex3]V_0[/tex3]
para [tex3]V_0 - \Delta V[/tex3]
, de modo que, como a transformação é adiabática:
[tex3]\frac{p_f}{p_i} = \left(\frac{V_f}{V_i}\right)^\gamma = \left(\frac{V_0 - \Delta V}{V_0}\right)^\gamma = \left(1 - \frac{\Delta V}{V_0}\right)^\gamma \approx 1- \frac{\gamma \Delta V}{V_0}[/tex3]
onde foi utilizado o fato que [tex3](1 +x)^n \approx 1 + n x[/tex3]
para [tex3]x << 1[/tex3]
. Como [tex3]\Delta V = \pi a^2 x[/tex3]
, segue que:
[tex3]\frac{p_f}{p_i} = 1 - \frac{\gamma (\pi a^2 x)}{V_0}\Longrightarrow p_f = \left( 1 - \frac{\pi \gamma a^2 x}{V_0}\right) p_i[/tex3]
.
Assim,
[tex3]\Delta p = p_f -p_i = - \frac{\pi a^2 \gamma p x}{V_0} \therefore F_r = \Delta p (\pi a^2 ) = - \frac{\pi ^2 a^4 \gamma p }{V_0}x[/tex3]
onde o sinal negativo indica que a força é uma força restauradora.
Aplicando o princípio fundamental da dinâmica, temos que:
[tex3]F_r = ma = m \frac{d^2 x}{dt^2} = - \frac{\pi^2 a^4 \gamma p }{V_0}x[/tex3]
obtemos a equação diferencial de segunda ordem:
[tex3]\frac{dx^2}{dt^2} + \frac{\pi^2 a^4 \gamma p }{mV_0}x = 0[/tex3]
A solução será dada por [tex3]x= \cos (\omega t + \phi_0)[/tex3]
, onde:
[tex3]\omega = \sqrt{\frac{\pi ^2 a^4 \gamma p}{mV_0}} = \pi a^2 \sqrt{\frac{\gamma p}{mV_0}}[/tex3]
Finalmente, o período, T, é dado por:
[tex3]T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2}{a^2}\sqrt{\frac{mV_0}{\gamma p}} \ \ \begin{cases} p = p_0 + \dfrac{mg}{\pi a^2} \end{cases}[/tex3]