Ensino Médio ⇒ Circunferência inscrita Tópico resolvido

[Lucabral]

Quatro amigos,Carlos,Daniel,Eduardo e Felipe,estão localizados,respectivamente,nos pontos C,D,E,e F de um mesmo plano,conforme a figura a seguir.Carlos está no centro da circunferência que passa pelos pontos D,E e F,e sua distância até Daniel é de 8 metros.

Sem título.jpg (8.13 KiB) Exibido 2391 vezes

A distância entre Eduardo e Felipe,em metros,corresponde,aproximadamente,a:

Resposta

---

GABARITO:14

[petras]

triangulo DEF é isósceles (mas para efeito de cálculo utilizarei como sendo equilátero, visto que a resposta é aproximada e a variação angular é muito pequena) . Do triangulo equilátero inscrito sabemos que seu lado é igual a [tex3]l\sqrt3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]l\sqrt3[/tex3]

portanto [tex3]EF=8\sqrt3=13.8...[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]EF=8\sqrt3=13.8...[/tex3]

aproximadamente 14.

[Lucabral]

Tenho duas dúvidas:
1º) Porque o triângulo é equilátero e o motivo do valor do lado,e porque não é retângulo,visto que também temos triângulos retângulos inscritos na circunferência

2º)Se o enunciado fala que Carlos está no centro da circunferência a distância entre eles e Daniel é o raio,e como a distância entre Eduardo e Felipe é uma linha (ahhhhhhhhh,desculpe o devaneio no pensamento,mas acho que agora entendi a minha segunda dúvida na minha cabeça a distância EF deveria ser o diâmetro,só que eu esqueci que o diâmetro é uma corta que passa pelo centro e EF não está passando,não é isso? Por isso EF não pode ser 2.8=16m.

[caju]

Olá Lucabral e petras,

triangulo_equilatero.jpeg (8.8 KiB) Exibido 2367 vezes

Na figura acima, vemos que o triângulo ECD é isósceles, pois [tex3]CE=CD=8[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]CE=CD=8[/tex3]

. Assim, podemos concluir que o ângulo [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

é igual a [tex3]32^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]32^\circ[/tex3]

, pois é ângulo da base do triângulo isósceles, e já sabemos o valor de um dos ângulos.

Agora, sabendo o valor de [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

, chegamos à conclusão que o ângulo [tex3]EDF[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]EDF[/tex3]

vale [tex3]32^\circ+28^\circ=60^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]32^\circ+28^\circ=60^\circ[/tex3]

.

Uma propriedade de triângulos inscritos em circunferências é que o ângulo [tex3]ECF[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ECF[/tex3]

vale o dobro do ângulo [tex3]EDF[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]EDF[/tex3]

. Assim, [tex3]ECF=120^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ECF=120^\circ[/tex3]

e o triângulo E [tex3]C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C[/tex3]

F é isósceles também, com os ângulos [tex3]CEF[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]CEF[/tex3]

e [tex3]CFE[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]CFE[/tex3]

iguais e valendo [tex3]30^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]30^\circ[/tex3]

. Idem para o triângulo [tex3]CDF[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]CDF[/tex3]

.

triangulo_equilatero2.jpg (10.53 KiB) Exibido 2367 vezes

Note que não temos um triângulo equilátero... os ângulos internos são [tex3]60^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]60^\circ[/tex3]

, [tex3]62^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]62^\circ[/tex3]

e [tex3]58^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]58^\circ[/tex3]

. Mas, como a diferença com um equilátero é pequena (apenas [tex3]2^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^\circ[/tex3]

em dois ângulos da base), podemos considerá-lo equilátero pois o enunciado pede uma resposta aproximada.

A partir daqui, continua com a resposta do colega petras.

Grande abraço,
Prof. Caju

[Lucabral]

Compreendi mas poderia explicar porque considerou o lado sendo multiplicado por raiz de 3?

trianguloequilatero.JPG (4.99 KiB) Exibido 2356 vezes

[caju]

Olá Lucabral,

Claro, esqueci deste ponto.

Screen Shot 2017-08-10 at 12.51.39.png (19.23 KiB) Exibido 2350 vezes

No triângulo equilátero acima, podemos aplicar trigonometria no triângulo ADE retângulo:

[tex3]\cos(30^\circ)=\frac{\frac{\ell}{2}}{R}\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\ell}{2R}\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\boxed{\boxed{\ell=R\sqrt{3}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos(30^\circ)=\frac{\frac{\ell}{2}}{R}\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\ell}{2R}\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\boxed{\boxed{\ell=R\sqrt{3}}}[/tex3]

Ou seja, o lado do triângulo equilátero inscrito em um círculo é igual ao raio do círculo multiplicado por [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

.

Grande abraço,
Prof. Caju

[petras]

Conforme o Mestre Caju demonstrou o triângulo não é equilátero mas para facilitar os cálculos já que a resposta é aproximada considerei como sendo.

[Lucabral]

Entendi tudo! Muito obrigado pela atenção. Bjããão