Ensino Médio ⇒ Geometria Plana Tópico resolvido
- undefinied3
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Jun 2016
18
21:27
Geometria Plana
Em um triângulo equilátero de lado
, escolhe-se um ponto dentro do mesmo de maneira que a distância desse ponto a cada um dos vértices mede 5, 7 e 8. Calcular .
Editado pela última vez por undefinied3 em 18 Jun 2016, 21:27, em um total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
- Ittalo25
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Jun 2016
18
23:45
Re: Geometria Plana
O ponto forma 3 triângulos de lados: (5,7,L) , (5,8,L) e (7,8,L).
E obviamente a soma da área dos três é igual à área do triângulo equilátero.
Use a fórmula de Heron e monte a relação.
Vai dar muito trabalho
E obviamente a soma da área dos três é igual à área do triângulo equilátero.
Use a fórmula de Heron e monte a relação.
Vai dar muito trabalho
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
- undefinied3
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Jun 2016
19
13:33
Re: Geometria Plana
Não parece nem ser humanamente possível
Deve ter alguma construção que mata o problema?
Editado pela última vez por undefinied3 em 19 Jun 2016, 13:33, em um total de 1 vez.
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- undefinied3
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Jun 2016
25
13:33
Re: Geometria Plana
É... não há limites para os milagres da geometria plana.
Construindo o triângulo com o ponto ligado aos vértices convenientemente como na figura, podemos pegar o triângulo de lados 5 8 L e encaixá-lo no lado do triângulo de lados 5 7 L, já que ambos tem o lado L em comum. Fazendo isso, forma-se dois segmentos de tamanho 5 que podemos fechar, formando um triângulo inicialmente isósceles. Porém, veja que o triângulo é, na verdade, equilátero, pois apesar de não conhecermos os ângulos que são formados na divisão do vértice A, sabemos que a soma é 60. Encaixar o triângulo de lados 5 8 L no triâugnlo 5 7 L mantém a soma 60, então o triângulo fechado é isósceles com ângulo 60, ou seja, equilátero. Com isso, o outro triângulo que apareceu tem laods 5 7 8 que, apesar de não muito famoso, tem um ângulo notável de 60 virado para o lado de medida 7. Isso é fácil de provar pelo teorema dos cossenos:
E agora fica fácil concluir o problema, pois temos um triângulo de lados 5 8 L com um ângulo de 120. Novamente, pelo teorema dos cossenos:
Construindo o triângulo com o ponto ligado aos vértices convenientemente como na figura, podemos pegar o triângulo de lados 5 8 L e encaixá-lo no lado do triângulo de lados 5 7 L, já que ambos tem o lado L em comum. Fazendo isso, forma-se dois segmentos de tamanho 5 que podemos fechar, formando um triângulo inicialmente isósceles. Porém, veja que o triângulo é, na verdade, equilátero, pois apesar de não conhecermos os ângulos que são formados na divisão do vértice A, sabemos que a soma é 60. Encaixar o triângulo de lados 5 8 L no triâugnlo 5 7 L mantém a soma 60, então o triângulo fechado é isósceles com ângulo 60, ou seja, equilátero. Com isso, o outro triângulo que apareceu tem laods 5 7 8 que, apesar de não muito famoso, tem um ângulo notável de 60 virado para o lado de medida 7. Isso é fácil de provar pelo teorema dos cossenos:
E agora fica fácil concluir o problema, pois temos um triângulo de lados 5 8 L com um ângulo de 120. Novamente, pelo teorema dos cossenos:
Editado pela última vez por undefinied3 em 25 Jun 2016, 13:33, em um total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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