IME / ITA ⇒ (ITA - 1998) Equação Logarítmica Tópico resolvido

[Natan]

O valor de [tex3]y \in \mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y \in \mathbb{R}[/tex3]

que satisfaz a igualdade

• [tex3]\log_y 49 = \log_ {y^2} 7 + \log_{2y}{7},[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\log_y 49 = \log_ {y^2} 7 + \log_{2y}{7},[/tex3]

é:

a) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

b) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

c) [tex3]3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3[/tex3]

d) [tex3]\frac{1}{8}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{8}[/tex3]

e) [tex3]7[/tex3]

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[tex3]7[/tex3]

[Thadeu]

Passando todos para a base [tex3]7:[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7:[/tex3]

• [tex3]\frac{\log_749}{\log_7y}=\frac{\log_77}{\log_7y^2}+\frac{\log_77}{\log_72y}\,\Rightarrow\,\frac{\log_77^2}{\log_7y}=\frac{1}{2\log_7y}+\frac{1}{\log_72y}\,\Rightarrow\,\frac{2\log_77}{\log_7y}=\frac{1}{2\log_7y}+\frac{1}{\log_72y}\Rightarrow\\
  \frac{2}{\log_7y}=\frac{1}{2\log_7y}+\frac{1}{\log_72y}\,\Rightarrow\,\frac{2}{\log_7y}-\frac{1}{2\log_7y}=\frac{1}{\log_72y}\,\Rightarrow\,\frac{3}{2\log_7y}=\frac{1}{\log_72y}\Rightarrow\\
  3(\log_72y)=2\log_7y\,\Rightarrow\,\log_7{(2y)}^3=\log_7y^2\,\Rightarrow\,8y^3=y^2\\
  8y^3-y^2=0\,\Rightarrow\,y^2(8y-1)=0\Rightarrow\\
  y^2=0\text{ ou }8y-1=0\\
  y^2=0 \Rightarrow y=0\\
  8y-1=0\Rightarrow y=\frac{1}{8}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\frac{\log_749}{\log_7y}=\frac{\log_77}{\log_7y^2}+\frac{\log_77}{\log_72y}\,\Rightarrow\,\frac{\log_77^2}{\log_7y}=\frac{1}{2\log_7y}+\frac{1}{\log_72y}\,\Rightarrow\,\frac{2\log_77}{\log_7y}=\frac{1}{2\log_7y}+\frac{1}{\log_72y}\Rightarrow\\
\frac{2}{\log_7y}=\frac{1}{2\log_7y}+\frac{1}{\log_72y}\,\Rightarrow\,\frac{2}{\log_7y}-\frac{1}{2\log_7y}=\frac{1}{\log_72y}\,\Rightarrow\,\frac{3}{2\log_7y}=\frac{1}{\log_72y}\Rightarrow\\
3(\log_72y)=2\log_7y\,\Rightarrow\,\log_7{(2y)}^3=\log_7y^2\,\Rightarrow\,8y^3=y^2\\
8y^3-y^2=0\,\Rightarrow\,y^2(8y-1)=0\Rightarrow\\
y^2=0\text{ ou }8y-1=0\\
y^2=0 \Rightarrow y=0\\
8y-1=0\Rightarrow y=\frac{1}{8}[/tex3]

Resposta: (d).

[Pepita]

Nesse resultado [tex3]\frac{2}{log_7y}-\frac{1}{2log_7y}=\frac{3}{2log_7y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2}{log_7y}-\frac{1}{2log_7y}=\frac{3}{2log_7y}[/tex3]

Por fica esse ressultado final ?

e por que fica [tex3]\frac{3}{2log_7y}=\frac{1}{log_2y}\rightarrow 3(log_72y)=2log_7y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3}{2log_7y}=\frac{1}{log_2y}\rightarrow 3(log_72y)=2log_7y[/tex3]

?

e por último... por que o expoente 3 some [tex3]8y^{3}-y^{2}=0\rightarrow y^{2}(8y-1)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]8y^{3}-y^{2}=0\rightarrow y^{2}(8y-1)=0[/tex3]

?

[petras]

Pepita,

Operações básicas da matemática
Tirou o mmc
Multiplicou cruzado
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