Ensino Superior ⇒ Taxas de Variação Relacionadas - Calculo I Tópico resolvido

[V3zyo]

Considere um avião em voo horizontal, a uma altura h em relação ao solo, com velocidade constante v, afastando-se de um observador A que se encontra em terra firme. Seja θ a elevação angular do avião, em relação ao solo, a partir do observador. Determine, como função de θ, a taxa de variação de θ em relação ao tempo.

[joaopcarv]

Seja [tex3]\mathsf{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{x}[/tex3]

a distância horizontal, em relação ao ponto [tex3]\mathsf{A}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{A}[/tex3]

, percorrida pelo avião. Do enunciado, [tex3]\mathsf{\dfrac{dx}{dt} \ = \ v \ = \ cte \ \therefore \ x \ = \ v\cdot t}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\dfrac{dx}{dt} \ = \ v \ = \ cte \ \therefore \ x \ = \ v\cdot t}[/tex3]

. Além disso, da trigonometria:

[tex3]\mathsf{\tan(\theta) \ = \ \dfrac{h}{x}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\tan(\theta) \ = \ \dfrac{h}{x}}[/tex3]

, com [tex3]\mathsf{h}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{h}[/tex3]

constante. Ou seja:

[tex3]\mathsf{\tan(\theta) \ = \ h \cdot x^{-1} \therefore}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\tan(\theta) \ = \ h \cdot x^{-1} \therefore}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{d \tan(\theta)}{dt} \ = \ \ h \cdot \dfrac{d \ \big(x^{-1}\big)}{dt}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\dfrac{d \tan(\theta)}{dt} \ = \ \ h \cdot \dfrac{d \ \big(x^{-1}\big)}{dt}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\underbrace{\sec^2(\theta)}_{\dfrac{d\tan(\theta)}{d\theta}} \cdot \dfrac{d\theta}{dt} \ = \ -h \cdot\dfrac{1}{v^\cancel2 \cdot t^2} \cdot \underbrace{\cancel v}_{\dfrac{dx}{dt}} \therefore}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\underbrace{\sec^2(\theta)}_{\dfrac{d\tan(\theta)}{d\theta}} \cdot \dfrac{d\theta}{dt} \ = \ -h \cdot\dfrac{1}{v^\cancel2 \cdot t^2} \cdot \underbrace{\cancel v}_{\dfrac{dx}{dt}} \therefore}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{\dfrac{d\theta}{dt} \ = \ \dfrac{-h \cdot \cos^2(\theta)}{v \cdot t^2}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\mathsf{\dfrac{d\theta}{dt} \ = \ \dfrac{-h \cdot \cos^2(\theta)}{v \cdot t^2}}}[/tex3]