Olimpíadas ⇒ Polinômios
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Set 2020
15
07:40
Polinômios
(Professor Isaac Luís) Sejam [tex3]p[/tex3]
um polinômio de grau ímpar com coeficientes reais e [tex3]c[/tex3]
um número real positivo. Sabe-se que, para todo [tex3]x \in \mathbb{R}[/tex3]
, [tex3]p(x)+p(-x)=c[/tex3]
e [tex3]|p(x)|\leq p(|x|)[/tex3]
. Mostre que [tex3]p[/tex3]
possui uma raiz real negativa.
Out 2022
08
20:56
Re: Polinômios
como p tem grau ímpar, p tem pelo menos uma raiz real, suponha por absurdo que toda raiz real seja positiva, a partir de agora [tex3]\alpha[/tex3]
é uma raiz real qualquer de p
[tex3]p(\alpha) + p(-\alpha) = c[/tex3] , fazendo [tex3]x = -\alpha[/tex3] na segunda informação temos que
[tex3]|p(-\alpha)| \le 0\implies p(-\alpha) = 0[/tex3] se [tex3]\alpha[/tex3] for não nulo acabou, então vamos supor que toda raiz real de p é 0.
voltando la para cima e substituindo por [tex3]\alpha[/tex3] descobrimos que c = 0 , mas na verdade, no enunciado ele diz que c > 0 que é um absurdo.
[tex3]p(\alpha) + p(-\alpha) = c[/tex3] , fazendo [tex3]x = -\alpha[/tex3] na segunda informação temos que
[tex3]|p(-\alpha)| \le 0\implies p(-\alpha) = 0[/tex3] se [tex3]\alpha[/tex3] for não nulo acabou, então vamos supor que toda raiz real de p é 0.
voltando la para cima e substituindo por [tex3]\alpha[/tex3] descobrimos que c = 0 , mas na verdade, no enunciado ele diz que c > 0 que é um absurdo.
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