Olimpíadas ⇒ Polinômios

[Deleted User 24758]

(Professor Isaac Luís) Sejam [tex3]p[/tex3]

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[tex3]p[/tex3]

um polinômio de grau ímpar com coeficientes reais e [tex3]c[/tex3]

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[tex3]c[/tex3]

um número real positivo. Sabe-se que, para todo [tex3]x \in \mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]x \in \mathbb{R}[/tex3]

, [tex3]p(x)+p(-x)=c[/tex3]

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[tex3]p(x)+p(-x)=c[/tex3]

e [tex3]|p(x)|\leq p(|x|)[/tex3]

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[tex3]|p(x)|\leq p(|x|)[/tex3]

. Mostre que [tex3]p[/tex3]

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[tex3]p[/tex3]

possui uma raiz real negativa.

[leozitz]

como p tem grau ímpar, p tem pelo menos uma raiz real, suponha por absurdo que toda raiz real seja positiva, a partir de agora [tex3]\alpha[/tex3]

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[tex3]\alpha[/tex3]

é uma raiz real qualquer de p
[tex3]p(\alpha) + p(-\alpha) = c[/tex3]

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[tex3]p(\alpha) + p(-\alpha) = c[/tex3]

, fazendo [tex3]x = -\alpha[/tex3]

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[tex3]x = -\alpha[/tex3]

na segunda informação temos que
[tex3]|p(-\alpha)| \le 0\implies p(-\alpha) = 0[/tex3]

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[tex3]|p(-\alpha)| \le 0\implies p(-\alpha) = 0[/tex3]

se [tex3]\alpha[/tex3]

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[tex3]\alpha[/tex3]

for não nulo acabou, então vamos supor que toda raiz real de p é 0.
voltando la para cima e substituindo por [tex3]\alpha[/tex3]

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[tex3]\alpha[/tex3]

descobrimos que c = 0 , mas na verdade, no enunciado ele diz que c > 0 que é um absurdo.