Dertermine a primeira derivada da função abaixo.
[tex3]y =\Large \frac{\text{cotg}\,x}{1 + \text{cossec}\,x}\large[/tex3]
Resposta:
[tex3]y'= \Large\frac{\text{cossec}\,x}{1 + \text{cossec}\,x}[/tex3]
Abraços
Ensino Superior ⇒ Derivadas Trigonométricas Tópico resolvido
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nostrahelios
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Mai 2007
12
05:39
Derivadas Trigonométricas
Olá a todos,
Dertermine a primeira derivada da função abaixo.
[tex3]y =\Large \frac{\text{cotg}\,x}{1 + \text{cossec}\,x}\large[/tex3]
[tex3]y'= \Large\frac{\text{cossec}\,x}{1 + \text{cossec}\,x}[/tex3]
Desde já agradeço a ajuda dos colegas e ficarei grato com qualquer ajuda
Abraços
Dertermine a primeira derivada da função abaixo.
[tex3]y =\Large \frac{\text{cotg}\,x}{1 + \text{cossec}\,x}\large[/tex3]
[tex3]y'= \Large\frac{\text{cossec}\,x}{1 + \text{cossec}\,x}[/tex3]
Abraços
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caju
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Mai 2007
12
19:24
Re: Derivadas Trigonométricas
Olá nostrahelios,
Para ficar mais fácil, vamos substituir os valores das funções trigonométricas por suas representantes com seno e co-seno:
[tex3]y=\frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{1+\frac 1{\sin x}}[/tex3]
Efetuando as contas:
[tex3]y=\frac{\cos x}{1+\sin x}[/tex3]
Agora aplicamos a regra de derivação do quociente. Para facilitar, vou chamar o denominador de [tex3]g(x)=1+\sin x[/tex3] e o numerador de [tex3]f(x)=\cos x[/tex3]
[tex3]y=\frac{f(x)}{g(x)}[/tex3]
Vamos encontrar os valores das derivadas das funções criadas agora:
[tex3]f'(x)=-\sin x[/tex3]
[tex3]g'(x)=\cos x[/tex3]
A regra do quociente diz:
[tex3]y'=\frac{f(x)g'(x)-f'(x)g(x)}{g^2(x)}[/tex3]
Substituindo:
[tex3]y'=\frac{(\cos x)(\cos x)-(-\sin x)(1+\sin x)}{(1+\sin x)^2}[/tex3]
[tex3]y'=\frac{\cos^2 x+\sin x+\sin^2 x}{(1+\sin x)^2}[/tex3]
Sabemos que [tex3]\sin^2x+\cos^2x=1[/tex3]
[tex3]y'=\frac{1+\sin x}{(1+\sin x)^2}[/tex3]
[tex3]y'=\frac{1}{1+\sin x}[/tex3]
Agora dividimos tanto o numerador quanto o denominador por [tex3]\sin x[/tex3]
[tex3]y'=\frac{\frac 1{\sin x}}{\frac 1{\sin x}+1}[/tex3]
[tex3]y'=\frac{\csc x}{1+\csc x}[/tex3]
Para ficar mais fácil, vamos substituir os valores das funções trigonométricas por suas representantes com seno e co-seno:
[tex3]y=\frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{1+\frac 1{\sin x}}[/tex3]
Efetuando as contas:
[tex3]y=\frac{\cos x}{1+\sin x}[/tex3]
Agora aplicamos a regra de derivação do quociente. Para facilitar, vou chamar o denominador de [tex3]g(x)=1+\sin x[/tex3] e o numerador de [tex3]f(x)=\cos x[/tex3]
[tex3]y=\frac{f(x)}{g(x)}[/tex3]
Vamos encontrar os valores das derivadas das funções criadas agora:
[tex3]f'(x)=-\sin x[/tex3]
[tex3]g'(x)=\cos x[/tex3]
A regra do quociente diz:
[tex3]y'=\frac{f(x)g'(x)-f'(x)g(x)}{g^2(x)}[/tex3]
Substituindo:
[tex3]y'=\frac{(\cos x)(\cos x)-(-\sin x)(1+\sin x)}{(1+\sin x)^2}[/tex3]
[tex3]y'=\frac{\cos^2 x+\sin x+\sin^2 x}{(1+\sin x)^2}[/tex3]
Sabemos que [tex3]\sin^2x+\cos^2x=1[/tex3]
[tex3]y'=\frac{1+\sin x}{(1+\sin x)^2}[/tex3]
[tex3]y'=\frac{1}{1+\sin x}[/tex3]
Agora dividimos tanto o numerador quanto o denominador por [tex3]\sin x[/tex3]
[tex3]y'=\frac{\frac 1{\sin x}}{\frac 1{\sin x}+1}[/tex3]
[tex3]y'=\frac{\csc x}{1+\csc x}[/tex3]
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"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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nostrahelios
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12
20:15
Re: Derivadas Trigonométricas
Professor sensacional, muito agradecido mesmo.
Apenas fiquei com dúvida em relação ao final onde o Sr. cita que devemos dividir tanto o numerador como denominador por senx. Isso é mais um artifício matemático utilizado ou tem uma lógica?
O Sr. poderia me explicar?
Mais uma vez grato
Apenas fiquei com dúvida em relação ao final onde o Sr. cita que devemos dividir tanto o numerador como denominador por senx. Isso é mais um artifício matemático utilizado ou tem uma lógica?
O Sr. poderia me explicar?
Mais uma vez grato
Editado pela última vez por nostrahelios em 12 Mai 2007, 20:15, em um total de 1 vez.
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caju
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12
21:14
Re: Derivadas Trigonométricas
Olá nostrahelius,
Utilizei este artifício para chegar até a resposta dada por você, para que você não desconfiasse da minha resposta por estar diferente do seu gabarito.
Poderia ter omitido este passo e entregar como resposta [tex3]y'=\frac{1}{1+\sin x}[/tex3] que não estaria errado, pois ambas possuem o mesmo resultado para os valores de [tex3]x[/tex3] em questão.
Utilizei este artifício para chegar até a resposta dada por você, para que você não desconfiasse da minha resposta por estar diferente do seu gabarito.
Poderia ter omitido este passo e entregar como resposta [tex3]y'=\frac{1}{1+\sin x}[/tex3] que não estaria errado, pois ambas possuem o mesmo resultado para os valores de [tex3]x[/tex3] em questão.
Editado pela última vez por caju em 12 Mai 2007, 21:14, em um total de 1 vez.
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nostrahelios
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Mai 2007
13
11:31
Re: Derivadas Trigonométricas
Mais uma vez muito agradecido pela ajuda
Abraços
Abraços
Editado pela última vez por nostrahelios em 13 Mai 2007, 11:31, em um total de 1 vez.
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