RenetGuenon escreveu: ↑19 Abr 2020, 13:49
O jeito mais fácil de resolver:
imagine que a rampa e alta o suficiente a ponto de [tex3]v_2[/tex3]
ser quase zero. Então uma das bolas ficaria parada no topo esperando a outra chegar e com isso a distância entre elas diminuiria.
Portanto a distância diminui.
Demonstrar isso rigorosamente não é uma tarefa simples. Até porque sem o tamanho da rampa e valores de [tex3]v_1,v_2[/tex3]
muitos casos poeriam acontecer. Imaginando que a rampa seja grande o suficiente para as duas bolas ficarem sobre ela ao mesmo tempo:
Vamos olhar para o instante em que a bola verde começa a subir a rampa.
Vai levar um tempo [tex3]t_1 = \frac{d}{v_1}[/tex3]
até a bola amarela chegar lá.
Neste tempo a bola verde estará a uma distância de: [tex3]\frac{\Delta s}{t_1} = \frac{v_1 + v_1 - g \sen \alpha t_1}{2}[/tex3]
No instante em que a bola amarela chega na rampa temos uma distância [tex3]\Delta s_1 = d - \frac12g \sen(\alpha) \frac{d^2}{v_1^2} < d[/tex3]
Olhando para as equações horárias do movimento vemos que essa distância diminui até o final da subida.
A distância entre as bolas quando a bola verde chega no topo é dada por [tex3]\Delta s_2 = \Delta s_1 - (g \sen(\alpha)t_1)t_2[/tex3]
No final da subida a verde sai com [tex3]v_2[/tex3]
e andará o tempo [tex3]t_3[/tex3]
da amarela sair da rampa:
[tex3]v_2 = v_{amarela} - g \sen(\alpha) t_3[/tex3]
[tex3]\frac{\Delta s_2}{t_3} = \frac{v_2 + v_2 + g \sen \alpha t_3}{2} \iff \Delta s_2 = v_2t_3 + \frac12g \sen(\alpha)t_3^2[/tex3]
pra fechar:
[tex3]v_2-v_1 = g \sen(\alpha)(t_1+t_2+t_3)[/tex3]
isolamos [tex3]t_2[/tex3]
, substituímos [tex3]t_1 = \frac {d_1}{v_1}[/tex3]
e jogamos na última equação para encontrar [tex3]t_3[/tex3]
e com isso determinar o [tex3]d_2[/tex3]
finalmente.
Temos [tex3]t_3 = \frac{d_1}{v_1} - \frac{v_2}{g\sen(\alpha)} \pm \frac{\sqrt{v_2^2v_1^2 + 2g^2\sen^2(\alpha)d_1^2}}{v_1 g \sen(\alpha)}[/tex3]
o sinal de menos deixa resposta negativa. Então:
[tex3]t_3 = \frac{d_1}{v_1} - \frac{v_2}{g\sen(\alpha)} + \frac{\sqrt{v_2^2v_1^2 + 2g^2\sen^2(\alpha)d_1^2}}{v_1 g \sen(\alpha)}[/tex3]
[tex3]d_2 = v_2t_3[/tex3]
[tex3]d_2 = v_2 \frac{d_1}{v_1} - \frac{v_2^2}{g\sen(\alpha)} + v_2\frac{\sqrt{v_2^2v_1^2 + 2g^2\sen^2(\alpha)d_1^2}}{v_1 g \sen(\alpha)}[/tex3]
agora, mostrar que isso é menor que [tex3]d_1[/tex3]
sabendo apenas que [tex3]v_2 < v_1[/tex3]
parece meio difícil.
[tex3]\frac{d_2}{d_1} = \frac{v_2}{v_1} - \frac{v_2^2}{v_1g\sen(\alpha)d_1} + v_2\frac{\sqrt{v_2^2v_1^2 + 2g^2\sen^2(\alpha)d_1^2}}{d_1v_1 g \sen(\alpha)} [/tex3]
[tex3]\frac{d_2}{d_1} = \frac{v_2}{v_1}(1 - \frac{v_2}{g\sen(\alpha)d_1} + \frac{\sqrt{v_2^2v_1^2 + 2g^2\sen^2(\alpha)d_1^2}}{d_1g \sen(\alpha)}) [/tex3]
não parece nada trivial.
