Olimpíadas ⇒ (Torneio Internacional das Cidades-94) Polinômio Tópico resolvido

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Sejam a, b, c, d números reais tais que [tex3]a^3+b^3+c^3+d^3=a+b+c+d=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^3+b^3+c^3+d^3=a+b+c+d=0[/tex3]

. Prove que a soma de um par destes números é igual a zero.

[LucasPinafi]

[tex3]a+ b = -(c+d) \Longrightarrow a^3 +b^3 + 3ab(a+b) = - c^3 -d^3 - 3cd(c+d) \\ a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = - 3ab(a+b) - 3cd(c+d) \\ ab(a+b) + cd(c+d) = 0 \\ -ab(c+d) + cd(c+d) = 0 \\ (c+d) (cd-ab) = (c+d) [c(-a-b-c) - ab ] = (c+d) [-ac-bc-c^2 - ab] = (c+d) [-a(b+c) - c(b+c) ] = 0 \\ (c+d) (b+c)(a+c) = 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+ b = -(c+d) \Longrightarrow a^3 +b^3 + 3ab(a+b) = - c^3 -d^3 - 3cd(c+d) \\ a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = - 3ab(a+b) - 3cd(c+d) \\ ab(a+b) + cd(c+d) = 0 \\ -ab(c+d) + cd(c+d) = 0 \\ (c+d) (cd-ab) = (c+d) [c(-a-b-c) - ab ] = (c+d) [-ac-bc-c^2 - ab] = (c+d) [-a(b+c) - c(b+c) ] = 0 \\ (c+d) (b+c)(a+c) = 0 [/tex3]

cqd