Demonstre que a soma dos [tex3]n[/tex3]
--------------------------------------------------------------------------------
Seja [tex3]m[/tex3]
um inteiro positivo ímpar. Vamos analisar o intervalo [tex3][1,\,m][/tex3]
:
Passo 1 - A soma de todos inteiros de [tex3][1,\,m][/tex3]
(P.A. [tex3]r=1[/tex3]
, [tex3]a_1=1[/tex3]
, [tex3]m[/tex3]
termos e último termo igual a [tex3]m[/tex3]
), é dada por [tex3]\frac{(1+m)m}{2}[/tex3]
.
Passo 2 - No intervalo [tex3][1,\,m][/tex3]
, temos [tex3]\frac{m-1}{2}[/tex3]
números pares. A soma desses números, ou seja, dos [tex3]\frac{m-1}{2}[/tex3]
primeiros números pares (P.A. [tex3]r=2[/tex3]
, [tex3]a_1=2[/tex3]
e último termo igual a [tex3]m-1[/tex3]
), é dada por [tex3]\frac{(2+m-1)\cdot \(\frac{m-1}{2}\)}{2}=\frac{(m+1)(m-1)}{4}[/tex3]
.
Fazendo a diferença entre os resultados dos passos 1 e 2, encontraremos a fórmula da soma dos [tex3]\frac{m+1}{2}[/tex3] primeiros números ímpares.
[tex3]\frac{(m+1)m}{2}-\frac{(m+1)(m-1)}{4}=\frac{(m+1)^2}{4}=\(\frac{m+1}{2}\)^2[/tex3]
Fazendo [tex3]\frac{m+1}{2}=n[/tex3]
, temos que a soma dos [tex3]n[/tex3]
primeiros números ímpares é igual [tex3]n^2[/tex3]
.
primeiros números ímpares é igual a [tex3]n^2[/tex3]
.Demonstrações ⇒ Soma dos n primeiros números ímpares Tópico resolvido
- csmarcelo
- Mensagens: 5114
- Registrado em: 22 Jun 2012, 22:03
- Última visita: 17-04-23
- Agradeceu: 355 vezes
- Agradeceram: 2801 vezes
Dez 2017
08
08:42
Soma dos n primeiros números ímpares
Editado pela última vez por caju em 28 Fev 2018, 12:43, em um total de 1 vez.
- LucasPinafi
- Mensagens: 1765
- Registrado em: 07 Dez 2014, 00:08
- Última visita: 22-05-24
- Agradeceu: 301 vezes
- Agradeceram: 1091 vezes
Dez 2017
08
20:55
Re: Soma dos n primeiros números ímpares
acho mais simples fazer:
[tex3]S_n = \frac{n (a_1 + a_n) }{2} = \frac{n(1+(n-1)2+1)}{2} = \frac{2n^2}{2}=n^2[/tex3]
onde [tex3]a_n = 1+2(n-1)[/tex3] é o n-ésimo ímpar. Veja que 1 , 3, 5,... forma uma PA de razão 2.
[tex3]S_n = \frac{n (a_1 + a_n) }{2} = \frac{n(1+(n-1)2+1)}{2} = \frac{2n^2}{2}=n^2[/tex3]
onde [tex3]a_n = 1+2(n-1)[/tex3] é o n-ésimo ímpar. Veja que 1 , 3, 5,... forma uma PA de razão 2.
Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia
-
- Tópicos Semelhantes
- Resp.
- Exibições
- Últ. msg
-
- 1 Resp.
- 651 Exibições
-
Últ. msg por candre
-
- 1 Resp.
- 2402 Exibições
-
Últ. msg por VALDECIRTOZZI
-
- 0 Resp.
- 1279 Exibições
-
Últ. msg por PeterJC
-
- 1 Resp.
- 1629 Exibições
-
Últ. msg por Carlosft57
-
- 2 Resp.
- 5987 Exibições
-
Últ. msg por csmarcelo