Ensino Médio ⇒ Princípio da Indução Finita, Gelson Iezzi

[MatheusBorges]

Se A é um conjunto finito com n elementos , então P(A), conjunto das partes de A, tem 2^ elementos.
Exercício 90.

[Matlimajr]

Olá,
Verifique o caso para P(0), que é verdadeiro, , já que 2^0= 1

Hipótese: p(n)=2^n

P(n+1)=2^(n+1)

P(n+1)= (2^n)*2

P(n+1)=P(n)*p(1)

(Então, dado um n qualquer, o p(n+1) será o antecessor vezes 2)

[Andre13000]

Seja o conjunto [tex3]A=\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}[/tex3]

. Ainda, P é definido da seguinte forma:

[tex3]P_n:=\prod_{1\leq k\leq n} (1+x_k)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P_n:=\prod_{1\leq k\leq n} (1+x_k)[/tex3]

Perceba que, feita a expansão desse produto, observa-se uma bijeção entre os termos e os possíveis subconjuntos de A. O número de termos da expansão é trivialmente calculado impondo [tex3]x_i=1, ~1\leq i\leq n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_i=1, ~1\leq i\leq n[/tex3]

. Logo:

[tex3]P(A)=2^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(A)=2^n[/tex3]

[MatheusBorges]

Pelo binômio de newton é bem melhor a demonstração.
[tex3]\binom {n}{0}+\binom {n}{1}+... +\binom {n}{n-1}+\binom{n}{n}=(1+1)^{n}=2^{n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\binom {n}{0}+\binom {n}{1}+... +\binom {n}{n-1}+\binom{n}{n}=(1+1)^{n}=2^{n}[/tex3]

A primeira combinação é do conjunto vazio e a última de todos os elementos juntos. Às outras são óbvias.

[Andre13000]

A minha solução é justamente um binômio de newton disfarçado kkkk .